(本题共小题,每小题6分,共12分)（Ⅰ）求证：函数在上是减

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(本题共小题,每小题6分,共12分)
（Ⅰ）求证：函数在上是减函数；
（Ⅱ）已知集合,且中只有一个元素，求实数的值.

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在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令,.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和.

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如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形.
（Ⅰ）证明直线；
（2）求棱锥的体积.

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设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。

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若数列 $A_{1} = a_{1}, a_{2} . . . a_{n} (n \geq 2)$ 满足 $|a_{k + 1} - a_{k}| = 1 (k = 1, 2, . . ., n - 1)$ ，数列 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S (A_{n})$ = $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ .
（Ⅰ）写出一个满足 $a_{1} = a_{5} = 0$ ，且 $S (A_{5}) > 0$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ；
（Ⅱ）若 $a_{1} = 12$ ， $n = 2000$ ，证明： $E$ 数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n} = 2011$ ；
（Ⅲ）对任意给定的整数 $n (n \geq 2)$ ，是否存在首项为 $0$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ，使得 $S (A_{n})$ = $0$ ？如果存在，写出一个满足条件的 $E$ 数列 $A_{n}$ ；如果不存在，说明理由.

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已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .过点 $(m, 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线l交椭圆 $G$ 于 $A, B$ 两点.
（I）求椭圆 $G$ 的焦点坐标和离心率；
（II）将 $|A B|$ 表示为 $m$ 的函数，并求 $|A B|$ 的最大值.

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