（本题6分）如图，点的坐标分别为，将绕点按逆时针方向旋转得到

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本题6分）
如图，点的坐标分别为，将绕点按逆时针方向旋转得到。

（1）画出旋转后的；
（2）求点的坐标；
（3）求在旋转过程中，点所经过的路径的长度。（结果保留）

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设 $a$ 、 $b$ 是任意两个实数，用 $\max {a$ ， $b}$ 表示 $a$ 、 $b$ 两数中较大者，例如： $\max {- 1$ ， $- 1} = - 1$ ， $\max {1$ ， $2} = 2$ ， $\max {4$ ， $3} = 4$ ，参照上面的材料，解答下列问题：

（1） $\max {5$ ， $2} =$ 　　， $\max {0$ ， $3} =$ 　　；

（2）若 $\max {3 x + 1$ ， $- x + 1} = - x + 1$ ，求 $x$ 的取值范围；

（3）求函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 与 $y = - x + 2$ 的图象的交点坐标，函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 的图象如图所示，请你在图中作出函数 $y = - x + 2$ 的图象，并根据图象直接写出 $\max {- x + 2$ ， $x^{2} - 2 x - 4}$ 的最小值．

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（1）求证： $AB$ 平分 $∠ OAD$ ；

（2）若点 $E$ 是优弧 $\hat{AEB}$ 上一点，且 $∠ AEB = 60 °$ ，求扇形 $OAB$ 的面积．（计算结果保留 $π)$

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如图所示， $C$ 城市在 $A$ 城市正东方向，现计划在 $A$ 、 $C$ 两城市间修建一条高速公路（即线段 $AC)$ ，经测量，森林保护区的中心 $P$ 在 $A$ 城市的北偏东 $60 °$ 方向上，在线段 $AC$ 上距 $A$ 城市 $120 km$ 的 $B$ 处测得 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，已知森林保护区是以点 $P$ 为圆心， $100 km$ 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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（1）生产 $A$ ， $B$ 两种产品的方案有哪几种；

（2）设生产这30件产品可获利 $y$ 元，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．

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（1）这次调查的市民人数为　　人， $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“ $A$ ．非常了解”的程度．

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