如图,抛物线第一象限部分上的一系列点与y正半轴上的点及原点,构成一系列正三角形(记为O),记。(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)求证:
(本小题满分10分)如图,三棱锥中,平面ABC,.(1)求三棱锥的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得,并求此时的值.
已知函数,(1)当时,判断并证明函数的单调性;(2)当时,求函数的最小值.
某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖4节车厢,一天能往返16次,如果每次拖7节车厢,则每天能往返10次.(注明:往、返各算一次)(1)若每天往返的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式;(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人,问这列火车每天往返多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.
(本小题满分12分)已知正项数列的首项为,前项和为满足.(1)求证:为等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,若对任意的,不等式恒成立 ,求实数的取值范围.
(本小题满分12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么满足上述营养要求,并且花费最少,应当为儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?