(10分)如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2).(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;(2)当=30°时,求证:△AOE1为直角三角形.
计算: ( 2 - 1 ) 0 + | - 3 | - 27 3 + ( - 1 ) 2021 .
已知抛物线 y = a x 2 - 2 ax + c ( a , c 为常数, a ≠ 0 ) 经过点 C ( 0 , - 1 ) ,顶点为 D .
(Ⅰ)当 a = 1 时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)当 a > 0 时,点 E ( 0 , 1 + a ) ,若 DE = 2 2 DC ,求该抛物线的解析式;
(Ⅲ)当 a < - 1 时,点 F ( 0 , 1 - a ) ,过点 C 作直线 l 平行于 x 轴, M ( m , 0 ) 是 x 轴上的动点, N ( m + 3 , - 1 ) 是直线 l 上的动点.当 a 为何值时, FM + DN 的最小值为 2 10 ,并求此时点 M , N 的坐标.
在平面直角坐标系中, O 为原点, ΔOAB 是等腰直角三角形, ∠ OBA = 90 ° , BO = BA ,顶点 A ( 4 , 0 ) ,点 B 在第一象限,矩形 OCDE 的顶点 E ( - 7 2 , 0 ) ,点 C 在 y 轴的正半轴上,点 D 在第二象限,射线 DC 经过点 B .
(Ⅰ)如图①,求点 B 的坐标;
(Ⅱ)将矩形 OCDE 沿 x 轴向右平移,得到矩形 O ' C ' D ' E ' ,点 O , C , D , E 的对应点分别为 O ' , C ' , D ' , E ' .设 OO ' = t ,矩形 O ' C ' D ' E ' 与 ΔOAB 重叠部分的面积为 S .
①如图②,当点 E ' 在 x 轴正半轴上,且矩形 O ' C ' D ' E ' 与 ΔOAB 重叠部分为四边形时, D ' E ' 与 OB 相交于点 F ,试用含有 t 的式子表示 S ,并直接写出 t 的取值范围;
②当 5 2 ⩽ t ⩽ 9 2 时,求 S 的取值范围(直接写出结果即可).
在"看图说故事"活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上,书店离学校 12 km ,陈列馆离学校 20 km .李华从学校出发,匀速骑行 0 . 6 h 到达书店;在书店停留 0 . 4 h 后,匀速骑行 0 . 5 h 到达陈列馆;在陈列馆参观学习一段时间,然后回学校;回学校途中,匀速骑行 0 . 5 h 后减速,继续匀速骑行回到学校.给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离 y km 与离开学校的时间 x h 之间的对应关系.
请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)填表:
离开学校的时间 / h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离 / km
2
10
12
(Ⅱ)填空:
①书店到陈列馆的距离为 km ;
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h ;
③李华从陈列馆回学校途中,减速前的骑行速度为 km / h ;
④当李华离学校的距离为 4 km 时,他离开学校的时间为 h .
(Ⅲ)当 0 ⩽ x ⩽ 1 . 5 时,请直接写出 y 关于 x 的函数解析式.
如图,一艘货船在灯塔 C 的正南方向,距离灯塔257海里的 A 处遇险,发出求救信号.一艘救生船位于灯塔 C 的南偏东 40 ° 方向上,同时位于 A 处的北偏东 60 ° 方向上的 B 处,救生船接到求救信号后,立即前往救援.求 AB 的长(结果取整数)参考数据: tan 40 ° ≈ 0 . 84 , 3 取1.73.