设函数,对任意实数都有(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
(本小题满分14分)已知函数(R),曲线在点处的切线方程为.(1)求实数a的值,并求的单调区间;(2)试比较与的大小,并说明理由;(3)是否存在k∈Z,使得对任意恒成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)若F是椭圆C的右焦点,过F的直线交椭圆C于M、N两点,T为直线x=4上任意一点,且T不在x轴上,(ⅰ)求的取值范围;(ⅱ)若OT平分线段MN,证明:TF⊥MN(其中O为坐标原点).
(本小题满分13分)经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.
(本小题满分13分)平面直角坐标系中,点M的坐标是,曲线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)将曲线和化成普通方程,并求曲线和公共弦所在直线的极坐标方程;(2)若过点M,倾斜角为的直线l与曲线交于A,B两点,求的值.
(本小题满分13分)已知向量,记函数.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c=,f(C)=,若向量共线,求a,b的值.