设函数,对任意实数都有(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为、、、.记,和的面积分别为和.(1)当直线与轴重合时,若,求的值;;(2)设直线,若,证明:是线段的四等分点(3)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.
对于给定数列,如果存在实常数,使得对于任意的都成立,我们称这个数列是“类数列”.(1)若,判断数列是否为“类数列”,并说明理由;(2)若数列是“类数列”,则数列、是否一定是“类数列”,若是的,加以证明;若不是,说明理由;(3)若数列满足:,设数列的前项和为,求的表达式,并判断是否是“类数列”.
如图,某污水处理厂要在一个矩形的池底水平铺设污水净化管道(直角,是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点,分别落在上,且,设.(1)试将污水管道的长度表示成的函数,并写出定义域;(2)当管道长度为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度.
如图,已知正四棱柱中,底面边长,侧棱的长为4,过点作的垂线交侧棱于点,交于点.(1)求证:⊥平面;(2)求三棱锥的体积.
已知函数.(1)求函数的零点,并求反函数;(2)设,若不等式在区间上恒成立,求实数的范围.