设函数,对任意实数都有(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
设数列 a n n = 1 , 2 , 3 … 的前 n 项和 S n 满足 S n = 2 a n - a 3 ,且 a 1 , a 2 + 1 , a 3 成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列 1 a n 的前 n 项和为 T n ,求 T n .
已知函数 f ( x ) = - 2 ( x + a ) ln x + x 2 - 2 a x - 2 a 2 + a ,其中 a > 0 . (1)设 g ( x ) 是 f ( x ) 的导函数,评论 g ( x ) 的单调性; (2)证明:存在 a ∈ ( 0 , 1 ) ,使得 f ( x ) ≥ 0 在区间 ( 1 , + ∞ ) 内恒成立,且 f ( x ) = 0 在 ( 1 , + ∞ ) 内有唯一解.
如图,椭圆 E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率是 2 2 ,过点 P ( 0 , 1 ) 的动直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 .
(1)求椭圆 E 的方程; (2)在平面直角坐标系 x O y 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得 Q A Q B = P A P B 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图, A , B , C , D 为平面四边形 A B C D 的四个内角.
(1)证明: tan A 2 = 1 - cos A sin A ,
(2)若 A + C = 180 ° , A B = 6 , B C = 3 , C D = 4 , A D = 5 求 tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 + tan D 2 的值.
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设 B C 的中点为 M , G H 的中点为 N
(1)请将字母 F , G , H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)证明:直线 M N ∥ 平面 B D H
(3)求二面角 A - E G - M 的余弦值