设函数,对任意实数都有(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
已知函数 f x = 2 cos 2 x + sin x .
(Ⅰ)求 f π 3 的值; (Ⅱ)求 f x 的最大值和最小值
已知函数 f ( x ) = x , g ( x ) = a ln x , a ∈ R
(Ⅰ)若曲线 y = f ( x ) 与曲线 y = g ( x ) 相交,且在交点处有共同的切线,求 a 的值和该切线方程;
(Ⅱ)设函数 h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ,当 h ( x ) 存在最小值时,求其最小值 φ ( a ) 的解析式;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的 φ ( a ) 和任意的 a > 0 , b > 0 ,证明: φ ` = ( a + b ) 2 ≤ φ ` ( a ) + φ ` ( b ) 2 ≤ φ ` ( 2 a b a + b ) .
如图,椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 的顶点为 A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ,焦点为 F 1 , F 2 , | A 1 B 1 | = 7 , S ▱ B 1 A 1 B 2 A 2 = 2 S ▱ B 1 F 1 B 2 F 2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)设 n 为过原点的直线, l 是与 n 垂直相交于 P 点,与椭圆相交于 A , B 两点的直线, | O P ⇀ | = 1 .是否存在上述直线 l 使 O A ⇀ · O B ⇀ = 0 成立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由.
为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查,测得身高情况的统计图如图所示:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm的概率;
(3)从样本中身高在180~190cm的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm的概率.
如图,在四棱锥 P - A B C D 中,底面 A B C D 是矩形, P A ⊥ 平面 A B C D , A P = A B = 2 , B C = 2 2 , E , F 分别是 A D , P C 的中点.
(1)证明: P C ⊥ 平面 B E F
(2)求平面 B E F 与平面 B A P 夹角的大小