设函数,对任意实数都有(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
(满分20分)本题有2小题,第1小题12分,第2小题8分.已知数列{}和{}满足:对于任何,有,为非零常数),且.(1)求数列{}和{}的通项公式;(2)若是与的等差中项,试求的值,并研究:对任意的,是否一定能是数列{}中某两项(不同于)的等差中项,并证明你的结论.
(满分20分)本题有2小题,第1小题12分,第2小题8分.设为定义域为的函数,对任意,都满足:,,且当时,(1)请指出在区间上的奇偶性、单调区间、最大(小)值和零点,并运用相关定义证明你关于单调区间的结论;(2)试证明是周期函数,并求其在区间上的解析式.
(满分16分)本题有2小题,第1小题7分,第2小题9分.据测算:2011年,某企业如果不搞促销活动,那么某一种产品的销售量只能是1万件;如果搞促销活动,那么该产品销售量(亦即该产品的年产量)万件与年促销费用万元()满足(为常数).已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(定价不考虑促销成本).(1)若2011年该产品的销售量不少于2万件,则该产品年促销费用最少是多少?(2)试将2011年该产品的年利润(万元)表示为年促销费用(万元)的函数,并求2011年的最大利润.
(满分15分)本题有2小题,第1小题6分,第2小题9分.如图,在直角梯形中,,,,.将(及其内部)绕所在的直线旋转一周,形成一个几何体.(1)求该几何体的体积;(2)设直角梯形绕底边所在的直线旋转角()至,问:是否存在,使得.若存在,求角的值,若不存在,请说明理由.
(满分14分)本题有2小题,第1小题6分,第2小题8分.已知在平面直角坐标系中,三个顶点的直角坐标分别为,,.(1)若,求的值;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.