设函数,对任意实数都有(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明.
已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a为正数). (1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1Î(0,2],均存在x2Î(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
已知椭圆C:+=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点.点P是⊙O上的动点.(1)若P(-1,),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;(2)是否存在这样的椭圆C,使得是常数?如果存在,求C的离心率;如果不存在,说明理由.
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)=|-a|+2a+,xÎ[0,24],其中a是与气象有关的参数,且aÎ[0,],若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作M(a). (1)令t=,xÎ[0,24],求t的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?
已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,且满足AD⊥AB,BC∥AD,AD=16,AB=8,BB1=8.E,F分别是线段A1A,BC上的点. (1)若A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面A1FD. (2)若BD⊥A1F,求三棱锥A1-AB1F的体积.
15.(本小题满分14分) 已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx-(xÎR). (1)若xÎ(0,),求f(x)的最大值; (2)在△ABC中,若A<B,f(A)=f(B)=,求的值.