如图,在以点 O 为圆心, A B = 4 为直径的半圆 A D B 中, O D ⊥ A B , P 是半圆弧上一点, ∠ P O B = 30 ° ,曲线 C 是满足 M A - M B 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E , F .若 △ O E F 的面积不小于 2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围.
(本小题满分12分)在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问 题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三、 四轮问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响。 (Ⅰ)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率;
(本小题满分10分)已知向量,。 (Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)设,求的取值范围.
已知函数. (Ⅰ)若函数在区间(其中)上存在极值,求实数的取值范围; (Ⅱ)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)求证:.
已知椭圆的离心率为, 直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2,直线过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点P,线段PF2的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C2的方程; (Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.
(本小题满分12分)已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,,,二面角P-AB-C为,D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E. (Ⅰ)求证:AP⊥平面BDE; (Ⅱ)求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值.