普通高等学校招生全国统一考试理科数学

设$\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$是向量，命题"若$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=-\stackrel{\rightharpoonup }{b}$，则$\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|$"的逆命题是

设抛物线的顶点在原点，准线方程为$x=-2$，则抛物线的方程是（）

设函数$f\left(x\right)$（$x\in$$R$）满足$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$，$f\left(x+2\right)=f\left(x\right)$，则函数$y=f\left(x\right)$的图像是（）

$(4^x-2^{-x}{)}^6(x\in R)$展开式中的常数项是（ ）

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）

函数$f\left(x\right)=\sqrt{x}-\cos x$在$[0,+\infty )$内 （ ）

设集合$M=\left\{y\right|y=\left|{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right|,x\in R\},N=\{x|\left|x-\frac{1}{i}\right|<\sqrt{2},i\mathrm{为虚数单位}，x\in R\}$，则$M\cap N$为（ ）

图中$x_1,x_2,x_3$为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，$p$为该题的最终得分，当$x_1=6,x_2=9,p=8.5$时，$x_3$等于（）

设$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$是变量$x$和$y$的$n$个样本点，直线$l$是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（ ）

甲乙两人一起去游"2011西安世园会"，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）

设$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}lgx x>0\\ x+{\int }_0^{a}3t^{2}dt x<o\end{array}\right.$，若$f\left(f\right(1\left)\right)=1$，则$a=$．

设$n\in N_{+}$，一元二次方程$x^2-4x+n=0$有整数根的充要条件是$n=$．

观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第$n$个等式为.

植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为             （米）．

若关于$x$的不等式$\left|a\right|\ge \left|x+1\right|+\left|x-2\right|$存在实数解，则实数$a$的取值范围是.

如图, $\angle B=\angle D,AE\perp BC,\angle ACD={90}^{°}$,且 $AB=6,AC=4,AD=12$,则 $BE=$．

直角坐标系$xOy$中，以原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点$A,B$分别在曲线$C_1$：$\{\begin{array}{c}x=3+\cos \theta \\ y=4+\sin \theta \end{array}$（$\theta$为参数）和曲线$C_2$：$\rho =1$上，则$\left|AB\right|$的最小值为．

如图，在$△ABC$中，$\angle ABC=60°$，$\angle BAC=90°$，$AD$是$BC$上的高，沿$AD$把$△ABD$折起，使$\angle BDC=90°$．

（1）证明：平面$ADB\perp$平面$BDC$；
（2）设$E$为$BC$的中点，求$\stackrel{\rightharpoonup }{AE}$与$\stackrel{\rightharpoonup }{DB}$夹角的余弦值．

如图，设$P$是圆$x^2+y^2=25$上的动点，点$D$是$P$在$x$轴上投影，$M$为$PD$上一点，且$\left|MD\right|=\frac{4}{5}\left|PD\right|$．

（1）当$P$在圆上运动时，求点$M$的轨迹$C$的方程；
（2）求过点$\left(3,0\right)$且斜率为$\frac{4}{5}$的直线被$C$所截线段的长度．

叙述并证明余弦定理．

如图，从点$P_1$$\left(0,0\right)$作$x$轴的垂线交曲线$y=e^x$于点$Q\left(O,1\right)$，曲线在$Q_1$点处的切线与$x$轴交于点$P_2$．再从$P_2$做$x$轴的垂线交曲线于点$Q_2$，依次重复上述过程得到一系列点：$P_1,Q_1$；$P_2,Q_2$；…；$P_n$，$Q_n$记$p_k$点的坐标为$\left(x_k,0\right)$（$k=0,1,2...,n$）．

（1）试求$x_k$与$x_{k-1}$的关系（$2k=n$）；
（2）求$\left|P_1{Q}_1\right|+\left|P_2{Q}_2\right|+\left|P_3{Q}_3\right|+\dots +\left|P_n{Q}_n\right|$．

如图，$A$地到火车站共有两条路径$L_1$和$L_2$，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

时间（分钟）	1020	2030	3040	4050	5060
$L_1$的频率	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.2$	$0.2$
$L_2$的频率	0	$0.1$	$0.4$	$0.4$	$0.1$

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .

设函数$f\left(x\right)$定义在$(0,+\infty )$上，$f\left(1\right)=0$，导函数$f`\left(x\right)=\frac{1}{x}$，$g\left(x\right)=f\left(x\right)+f`\left(x\right)$．
（1）求$g\left(x\right)$的单调区间和最小值；
（2）讨论$g\left(x\right)$与$g\left(\frac{1}{x}\right)$的大小关系；
（3）是否存在$x_0>0$，使得$\left|g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right|<\frac{1}{x}$对任意$x>0$成立？若存在，求出$x_0$的取值范围；若不存在，请说明理由．