设函数$f\left(x\right)$定义在$(0,+\infty )$上，$f\left(1\right)=0$，导函数$f`\left(x\right)=\frac{1}{x}$，$g\left(x\right)=f\left(x\right)+f`\left(x\right)$．
（1）求$g\left(x\right)$的单调区间和最小值；
（2）讨论$g\left(x\right)$与$g\left(\frac{1}{x}\right)$的大小关系；
（3）是否存在$x_0>0$，使得$\left|g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right|<\frac{1}{x}$对任意$x>0$成立？若存在，求出$x_0$的取值范围；若不存在，请说明理由．