2011年初中毕业升学考试（湖北黄石卷）数学

(10分)

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．
∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．
∵a≠b，∴(a－b)²＞0．
∴M－N＞0．
∴M＞N．
类别应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a、b是正数，且a≠b)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M₁、N₁的大小(b＞c)．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点
M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA
的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交
BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)．
(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
(2)设四边形PQCM的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

－3的绝对值是（   ）

如图，空心圆柱的左视图是（   ）

今年5月，我市第六次人口普查办公室发布了全市常住人口为578.99万人，用科
学记数法可表示(保留2个有效数字)为（   ）

如图，已知a∥b，∠1＝50º，则∠2＝（   ）

下列运算不正确的是（   ）

下列事件属于必然事件的是（   ）

已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比为4∶3，则这个菱形的面积是（   ）

某小区20户家庭的日用电量(单位：千瓦时)统计如下：

这20户家庭日用电量的众数、中位数分别是（   ）
A．6，6.5          B．6，7          C．6，7.5          D．7，7.5

下列四个图象表示的函数中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（   ）

如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为（   ）

如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若
矩形OA₁B₁C₁与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA₁B₁C₁的面积等于矩形OABC
面积的，则点B₁的坐标是（   ）

某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每
段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这
条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（   ）

如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点．若OE＝3cm，则AD的长是       cm．

如图，圆锥的底面半径OB＝10cm，它的侧面展开图的扇形的半径AB＝30cm，
则这个扇形圆心角的度数是      ．

某校举行物理实验操作测试，共准备了三项不同的实验，要求每位学生只参加其
中的一项实验，由学生自己抽签确定做哪项实验．在这次测试中，小亮和大刚恰好做同一
项实验的概率是     ．

(7分)解方程：x(x－2)＋x－2＝0．

(8分)今年“世界水日”的主题是“城市用水：应对都市化挑战”．为了解城市
居民用水量的情况，小亮随机抽查了阳光小区50户居民去年每户每月的用水量，将得到的
数据整理并绘制了这50户居民去年每月总用水量的折线统计图和频数、频率分布表如下：
(1)表中a＝     ，d＝     ．
(2)这50户居民每月总用水量超过550m³的月份占全年月份的百分率是多少(精确到1%)？
(3)请根据折线统计图提供的数据，估计该小区去年每户居民平均月用水量是多少？

(8分)将两块大小相同的含30º角的直角三角板(∠BAC＝∠B₁A₁C＝30º)按图1
的方式放置，固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转
角小于90º)至图2所示的位置，AB与A₁C交于点E，AC与A₁B₁交于点F，AB与A₁B₁
交于点O．
(1)求证：△BCE≌△B₁CF；
(2)当旋转角等于30º时，AB与A₁B₁垂直吗？请说明理由．

(8分)被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的建
筑．铁塔由塔身和塔座两部分组成．为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C
点测得塔顶E的仰角为45º，在D点测得塔顶E的仰角为60º．已知测角仪AC的高为1.6m，
CD的长为6m，CD所在的水平线CG⊥EF于点G．求铁塔EF的高(精确到0.1m)．

(8分)徒骇河风景区建设是今年我市重点工程之一．某工程公司承担了一段河底
清淤任务，需清淤4万方，清淤1万方后，该公司为提高施工进度，又新增一批工程机械参
与施工，工效提高到原来的2倍，共用25天完成任务．问该工程公司新增工程机械后每天
清淤多少方？

(8分)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交
半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．
(1)求∠AOD的度数；
(2)求证：PD是半圆O的切线．

的值为（   ）

A．2

B．－2

C．

D．不存在

黄石市2011年6月份某日一天的温差为11℃，最高气温为t℃，则最低气温可表
示为（   ）

双曲线的图像经过第二、四象限，则的取值范围是（   ）

A．

B．

C．

D．不存在

有如下图形：①函数的图形；②函数的图像；③一段弧；④平行
四边形，其中一定是轴对称图形的有（   ）   

如图（1）所示的几何体的俯视图是（   ）
 

2010年12月份，某市总工会组织该市各单位参加“迎新春长跑活动”，将报名的
男运动员分成3组：青年组，中年组，老年组。各组人数所占比例如图（2）所示，已知青
年组有120人，则中年组与老年组人数分别是（   ）

将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶
点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（3），
则三角板的最大边的长为（   ）

A．

B．

C．

D．

平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不
同的个点最多可确定21条直线，则的值为（   ）

A．

B．

C．

D．

设一元二次方程的两根分别为，且，则
满足（   ）

A．

B．

C．

D．且

已知梯形的四个顶点的坐标分别为，，，，
直线将梯形分成面积相等的两部分，则的值为（   ）

A．

B．

C．

D．

分解因式：＝             .

为响应“红歌唱响中国”活动，某乡镇举行了一场“红歌”歌咏比赛，组委会规
定：任何一名参赛选手的成绩满足：，赛后整理所有参赛选手的成绩如表（一）

根据表（一）提供的信息得到         .

有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）。将这两张纸条交
叉重叠地放在一起，重合部分为四边形，则与的数量关系为          .

如图（5），△内接于⊙，若＝30°，，则⊙的直径
为        .

若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点，则实数的
取值范围是             .

初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第
列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为
，则称该生作了平移[],并称为该生的位置数。若某生的位
置数为，则当取最小值时，的最大值为           .

（本小题满分7分）计算：

（本小题满分7分）
先化简，再求值：，其中.

（本小题满分7分）如图（6），在等腰梯形中，，，
是的中点，连接.、。求证：.

（本小题满分8分）解方程： 

（本小题满分8分）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人
的网球梦，也在国内掀起一股网球热。某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹
妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明
想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸
出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座。
（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因。
（2）若爸爸从袋中取出个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由。

（本小题满分8分）东方山是鄂东南地区的佛教圣地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，
山顶上有黄石电视塔。据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米，
一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶的正上方处测得月亮山山顶的
俯角为，在月亮山山顶的正上方处测得东方山山顶处的俯角为，如图（7）。已知
，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从到处
需多少时间？（精确到0.1秒）

今年，号称"千湖之省"的湖北正遭受大旱，为提高学生环
境意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水
的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：

（1）若某用户六月份用水量为 $18$吨，求其应缴纳的水费；
（2）记该用户六月份用水量为 $x$吨，缴纳水费为 $y$元，试列出 $y$与 $x$的函数式；
（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费 $y$元的取值范围为 $70\le y\le 90$  $m$的取值范围。
各位同学，请你也认真做一做，相信聪明的你一定会顺利完成。

（本小题满分9分）已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。
（1）如图（8），若是⊙的直径，求证：；
（2）如图(9)，若是⊙外一点，求证：；
（3）如图（10），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。

（本小题满分10分）已知二次函数
（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。
（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。