2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国2）数学（理科）

复数 $(\frac{3-i}{1+i}{)}^2=$(   ).

函数 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$的反函数是

若变量$x,y$满足约束条件$\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ y\ge x\\ 3x+2y\le 5\end{array}$,则$z=2x+y$的最大值为（）

如果等差数列$\left\{a_n\right\}$中，$a_3+a_4+a_5=12$，那么$a_1+a_2+\cdots +a_n=$（）

不等式$\frac{x^2-x-6}{x-1}>0$的解集为（）

将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（   ）

为了得到函数$y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$的图像，只需把函数$y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$的图像（）

$△ABC$中，点$D$在$AB$上，$CD$平方$\angle ACB$．若$\stackrel{\rightharpoonup }{CB}=a$，$\stackrel{\rightharpoonup }{CA}=b$，$\left|a\right|=1$，$\left|b\right|=2$，则$\stackrel{\rightharpoonup }{CD}=$

已知正四棱锥 $S-ABCD$中， $SA=2\sqrt{3}$，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(   )

若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$在点 $(a,a^{-\frac{1}{2}})$处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 $a=$(    )

与正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的三条棱 $AB,C{C}_1,A_1{D}_1$所在直线的距离相等的点(   )

已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过右焦点$F$且斜率为$k(k>0)$的直线与$C$相交于$A$、$B$两点．若$\stackrel{\rightharpoonup }{AF}=3\stackrel{\rightharpoonup }{FB}$，则$k=$

已知$a$是第二象限的角，$\tan (\pi +2a)=-\frac{4}{3}$，则$\tan a=$．

若 ${\left(x-\frac{a}{x}\right)}^9$的展开式中 $x^3$的系数是 $-84$，则 $a=$．

已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$的准线为 $l$，过 $M(1,0)$且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $l$相交于点 $A$，与 $C$的一个交点为 $B$．若 $\stackrel{\to }{AM}=\stackrel{\to }{MB}$，则 $P=$．

已知球 $O$的半径为4,圆 $M$与圆 $N$为该球的两个小圆, $AB$为圆 $M$与圆 $N$的公共弦, $AB=4$.若 $OM=ON=3$,则两圆圆心的距离 $MN=$    ．

$△ABC$中，$D$为边$BC$上的一点，$BD=33$，$\sin B=\frac{5}{13}$，$\cos \angle ADC=\frac{3}{5}$，求$AD$．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=(n^2+n)3^n$．
（Ⅰ）求 $\underset{S\to \infty }{lim}\frac{a_n}{S_n}$；
（Ⅱ）证明： $\frac{a_1}{1^2}+\frac{a_2}{2^2}+...+\frac{a_n}{n^2}>3^n$．

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $AC=BC$， $A{A}_1=AB$， $D$为 $B{B}_1$的中点， $E$为 $A{B}_1$上的一点， $AE=3E{B}_1$．

（Ⅰ）证明： $DE$为异面直线 $A{B}_1$与 $CD$的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线 $A{B}_1$与 $CD$的夹角为45°，求二面角 $A_1-A{C}_1-B_1$的大小．

如图，由 $M$到 $N$的电路中有4个元件，分别标为 $T_1,T_2,T_3,T_4$，电流能通过 $T_1,T_2,T_3$的概率都是 $p$，电流能通过 $T_4$的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_1,T_2,T_3$中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求 $p$；
（Ⅱ）求电流能在 $M$与 $N$之间通过的概率；
（Ⅲ） $\xi$表示 $T_1,T_2,T_3,T_4$中能通过电流的元件个数，求 $\xi$的期望．

己知斜率为1的直线$l$与双曲线$C$：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$相交于$B$、$D$两点，且$BD$的中点为$M\left(1,3\right)$．
（Ⅰ）求$C$的离心率；
（Ⅱ）设$C$的右顶点为$A$，右焦点为$F$，$\left|DF\right|\left|BF\right|=17$，证明：过$A,B,D$三点的圆与$x$轴相切．

设函数 $f\left(x\right)=1-e^{-x}$．
（Ⅰ）证明：当 $x>-1$时， $f\left(x\right)\ge \frac{x}{x+1}$；
（Ⅱ）设当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)\le \frac{x}{ax+1}$，求 $a$的取值范围．