2010年全国统一高考理科数学试卷（福建卷）

计算 $\sin {43}^{°}\cos {13}^{°}-\cos {43}^{°}\sin {13}^{°}$ 的结果等于（  ）

以抛物线 $y^2=4x$的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为

设等差数列 $｛a_n｝$前 $n$项和为 $S_n$ . 若 $a_1=-11,a_4+a_6=-6$,则当 $S_n$取最小值时， $n$等于（）

函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x-3,x\le 0\\ -2+\ln x,x>0\end{array}\right.$的零点个数为（）

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 $i$ 值等于（  ）        

如图，若 $\Omega$ 是长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 被平面 $EFGH$ 截去几何体 $EFGH{B}_1{C}_1$ 后得到的几何体，其中 $E$ 为线段 $A_1{B}_1$ 上异于 $B_1$ 的点， $F$ 为线段 $B{B}_1$ 上异于 $B_1$ 的点，且 $EH\parallel A_1{D}_1$ ，则下列结论中不正确的是（  ）

若点 $O$和点 $F$（-2，0）分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1,(a>0)$的中心和左焦点，点 $P$为双曲线右支上的任意一点，则 $\stackrel{\to }{OP}·\stackrel{\to }{FP}$的取值范围为

设不等式组 $\{\begin{array}{c}x\ge 1,\\ x-2y+3\ge 0\\ y\ge x\end{array},$所表示的平面区域是 $\Omega$，平面区域 ${\Omega }_2$与 ${\Omega }_1$关于直线 $3x-4y-9$对称。对于 ${\Omega }_1$中的任意点 $A$与 ${\Omega }_2$中的任意点 $B$， $\left|AB\right|$的最小值等于（）

对于复数 $a,b,c,d$，若集合 $S=\{a,b,c,d\}$具有性质"对任意 $x,y\in S$，必有 $x,y\in S$"，则当 $\{\begin{array}{c}a=1\\ b^2=1\\ c^2=b\end{array}$时， $b+c+d$等于

对于具有相同定义域D的函数 $f\left(x\right)$和 $g\left(x\right)$，若存在函数 $h\left(x\right)=kx+b,(k,b$为常数），对任给的正数 $m$，存在相应的 $x_0\in D$，使得当 $x\in D$且 $x>x_0$时，总有 $\{\begin{array}{c}0<f\left(x\right)-h\left(x\right)<m\\ 0<h\left(x\right)-g\left(x\right)<m\end{array}$则称直线 $l:y=kx+b$为曲线 $y=f\left(x\right)$与的 $y=g\left(x\right)$"分渐近线"。给出定义域均为 $D=\{\overline{)x}x>1\}$的四组函数如下：
① $f\left(x\right)=x^2,g\left(x\right)=\sqrt{x}$;② $f\left(x\right)={10}^{-x}+2,g\left(x\right)=\frac{2x-3}{x}$;
③ $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x},g\left(x\right)=\frac{x\ln x+1}{\ln x}$;④ $f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x+1},g\left(x\right)=2(x-1-e^{-x})$.
其中，曲线 $y=f\left(x\right)$与 $y=g\left(x\right)$存在"分渐近线"的是

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$中，若公比 $q=4$，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 $a_n=$.

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于  .

某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。

已知函数 $f\left(x\right)=3\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})(\omega >0)$和 $g\left(x\right)=2\cos (2x+\phi )+1$的图像的对称轴完全相同。若 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$,则 $f\left(x\right)$的取值范围是。

已知定义域为 $(0,+\infty )$的函数 $f\left(x\right)$满足：（1）对任意 $x\in (0,+\infty )$,恒有 $f\left(2x\right)=2f\left(x\right)$成立；（2）当 $x\in (1,2]$

①对任意 $m\in Z$,有 $f\left(2^m\right)=0$；

②函数 $f\left(x\right)$的值域为 $[0,+\infty )$;

③存在 $n\in Z$,使得 $f(2^n+1)=9$;

④"函数 $f\left(x\right)$在区间 $(a,b)$上单调递减"的充要条件是"存在 $k\in Z$,使得 $(a,b)$ $\subseteq$ $(2^k,2^{k+1})$".
其中所有正确结论的序号是。

设 $S$是不等式 $x^2-x-6\le 0$的解集，整数 $m,n\in S$。
（Ⅰ）记"使得 $m+n=0$成立的有序数组 $\left(m,n\right)$"为事件 $A$，试列举 $A$包含的基本事件；
（Ⅱ）设 $\xi =m^2$,求 $\xi$的分布列及其数学期望 $E\xi$。

已知中心在坐标原点 $O$的椭圆 $C$经过点 $A(2,3)$，且点 $F(2,0)$为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于 $OA$的直线 $L$，使得直线 $L$与椭圆 $C$有公共点，且直线 $OA$与 $L$的距离等于4？若存在，求出直线 $L$的方程；若不存在，说明理由。

如图，圆柱 $O{O}_1$ 内有一个三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $AB$ 是圆 $O$ 的直径。

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1}AC{C}_1\perp \mathrm{平面}{B}_{1}BC{C}_1$ ；
（Ⅱ）设 $AB=A{A}_1$ 。在圆柱 $O{O}_1$ 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 内的概率为 $P$ 。
（i）当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $P$ 的最大值；
(ii)记平面 $A_{1}AC{C}_1$ 与平面 $B_{1}OC$ 所成的角为 $\theta \left(0^{°}<\theta \le {90}^{°}\right)$ 。当 $P$ 取最大值时，求 $\cos \theta$ 的值。

某港口 $O$要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 $O$北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 $t$小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-x$,其图像记为曲线 $C$.

（i）求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（ii）证明：若对于任意非零实数 $x_1$,曲线C与其在点 $P_1(x_1,f(x_1\left)\right)$处的切线交于另一点 $P_2(x_2,f(x_2\left)\right)$，曲线 $C$与其在点 $P_2$处的切线交于另一点 $P_3(x_3,f(x_3\left)\right)$，线段 $P_1{P}_2,P_2{P}_3$与曲线 $C$所围成封闭图形的面积分别记为 $S_1,S_2$，则 $\frac{S_1}{S_2}$为定值；

（Ⅱ）对于一般的三次函数 $g\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$,请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

（1）已知矩阵M= $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& 1\end{array}\right)$，N= $\left(\begin{array}{cc}c& 2\\ 0& d\end{array}\right)$，且MN= $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 0\end{array}\right)$。
（Ⅰ）求实数 $a,b,c,d$的值；

（Ⅱ）求直线 $y=3x$在矩阵 $M$所对应的线性变换作用下的像的方程。
（2）在直角坐标系 $xOy$中，直线 $L$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$（ $t$为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$取相同的长度单位，且以原点 $O$为极点，以 $x$轴正半轴为极轴）中，圆 $C$的方程为 $\rho =2\sqrt{5}\sin \theta$。
（Ⅰ）求圆 $C$的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆 $C$与直线 $L$交于点 $A,B$。若点 $P$的坐标为（ $3,\sqrt{5}$），求 $\left|PA\right|+\left|PB\right|$。
（3）已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-a\right|$.
（Ⅰ）若不等式 $f\left(x\right)\le 3$的解集为 $\left\{\overline{)x}-1\le x\le 5\right\}$，求实数 $a$的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 $f\left(x\right)+f\left(x+5\right)\ge m$对一切实数 $x$恒成立，求实数 $m$的取值范围。