如图，圆柱 $O{O}_1$ 内有一个三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $AB$ 是圆 $O$ 的直径。

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1}AC{C}_1\perp \mathrm{平面}{B}_{1}BC{C}_1$ ；
（Ⅱ）设 $AB=A{A}_1$ 。在圆柱 $O{O}_1$ 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 内的概率为 $P$ 。
（i）当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $P$ 的最大值；
(ii)记平面 $A_{1}AC{C}_1$ 与平面 $B_{1}OC$ 所成的角为 $\theta \left(0^{°}<\theta \le {90}^{°}\right)$ 。当 $P$ 取最大值时，求 $\cos \theta$ 的值。