2010年全国统一高考文科数学试卷（北京卷）

集合 $P=\left\{x\in Z|0\le x<3\right\},M=\left\{x\in Z|x^2\le 9\right\}$ ，则 $P\cap M=$ （  ）

在复平面内，复数 $6+5i$, $-2+3i$ 对应的点分别为 $A,B$.若 $C$为线段 $AB$的中点，则点 $C$对应的复数是（）

从 $\left\{1,2,3,4,5\right\}$中随机选取一个数为 $a$，从 $\left\{1,2,3\right\}$中随机选取一个数为 $b$，则 $b>a$的概率是（）

若 $a,b$是非零向量，且 $a\perp b$， $\left|a\right|\ne \left|b\right|$，则函数 $f\left(x\right)=(xa+b)(xb-a)$是

一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为（  ）

给定函数① $y=x^{\frac{1}{2}}$,② $y={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)$,③ $y=\left|x-1\right|$,④ $y=2^{x+1}$,其中在区间 $\left(0,1\right)$上单调递减的函数序号是（）

某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为 $\alpha$ 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（  ）

如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为2，动点 $E,F$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上。点 $Q$ 是 $CD$ 的中点，动点 $P$ 在棱 $AD$ 上，若 $EF=1,DP=x,A_{1}E=y$ ( $x,y$ 大于零)，则三棱锥 $P-EFQ$ 的体积：（  ）

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x,x\ge 2\\ 2-x,x<2\end{array}\right.$ ,如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写 ；②处应填写

在 $△ABC$中,若 $b=1$， $c=\sqrt{3}$， $\angle C=\frac{2\pi }{3}$，则 $a=$   .

若点 $p\left(m,3\right)$到直线 $4x-3y+1=0$的距离为4，且点 $p$在不等式 $2x+y$＜3表示的平面区域内，则 $m$=。

从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知 $a=$ .若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 .

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为2，焦点与椭圆 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为.

如图放置的边长为1的正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动。设顶点 $P\left(x,y\right)$ 的纵坐标与横坐标的函数关系是 $y=f\left(x\right)$ ，则 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 ； $y=f\left(x\right)$ 在其两个相邻零点间的图像与 $x$ 轴所围区域的面积为 。

说明："正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动"包含沿 $x$ 轴正方向和沿 $x$ 轴负方向滚动。沿 $x$ 轴正方向滚动是指以顶点 $A$ 为中心顺时针旋转，当顶点 $B$ 落在 $x$ 轴上时，再以顶点 $B$ 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 $PABC$ 可以沿着 $x$ 轴负方向滚动。

已知函数 $f\left(x\right)=2\cos 2x+\sin x$.

（Ⅰ）求 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$的值；
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$的最大值和最小值

已知 $\left|a_n\right|$ 为等差数列,且 $a_3=-6,a_6=0$ .

（Ⅰ）求 $\left|a_n\right|$ 的通项公式;
（Ⅱ）若等差数列 $\left|b_n\right|$ 满足 $b_1=-8,b_2=a_1+a_2+a_3$ ,求 $\left|b_n\right|$ 的前 $n$ 项和公式.

如图，正方形 $ABCD$ 和四边形 $ACEF$ 所在的平面互相垂直. $EF//AC,AB=\sqrt{2},CE=EF=1$ .

（Ⅰ）求证： $AF//$ 平面 $BDE$ ；
（Ⅱ）求证： $CF\perp$ 平面 $BDF$ ;

设定函数 $f\left(x\right)=\frac{a}{3}{x}^3+b{x}^2+cx+d(a>0)$，且方程 $f`\left(x\right)-9x=0$的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当 $a=3$且曲线 $y=f\left(x\right)$过原点时，求 $f\left(x\right)$的解析式；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$在 $(-\infty ,+\infty )$无极值点，求 $a$的取值范围。

已知椭圆 $C$的左、右焦点坐标分别是 $(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0)$，离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线 $y=t$与椭圆 $C$交与不同的两点 $M,N$，以线段为直径作圆 $P$,圆心为 $P$.

（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；
（Ⅱ）若圆 $P$与 $x$轴相切，求圆心 $P$的坐标；
（Ⅲ）设 $Q(x,y)$是圆 $P$上的动点，当 $t$变化时，求 $y$的最大值.

已知集合 $S_n=\left\{X\right|X=(x_1,x_2,\dots ,x_n),x_i\in \{0,1\},i=1,2,\dots ,n\left\}\right(n\ge 2)$，对于 $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n),B=(b_1,b_2,\dots ,b_n)\in S_n$，定义 $A$与 $B$的差为 $A-B=\left(\right|a_1-b_1|，|a_2-b_2|，\dots ，|a_n-b_n\left|\right)$； $A$与 $B$之间的距离为 $d(A,B)=\underset{i-1}{\sum }\left|a_1-b_1\right|$，

(Ⅰ)当 $n=5$时，设 $A=(0,1,0,0,1)$， $B=(1,1,1,0,0)$，求 $A-B$， $d(A,B)$ ；

(Ⅱ)证明： $A,B,C\in S_n$，有 $A-B\in S_n$，且 $d(A-C,B-C)=d(A,B)$；

(Ⅲ)证明： $A,B,C\in S_n$, $d(A,B),d(A,C),d(B,C)$ 三个数中至少有一个是偶数．