已知椭圆 $C$的左、右焦点坐标分别是 $(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0)$，离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线 $y=t$与椭圆 $C$交与不同的两点 $M,N$，以线段为直径作圆 $P$,圆心为 $P$.

（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；
（Ⅱ）若圆 $P$与 $x$轴相切，求圆心 $P$的坐标；
（Ⅲ）设 $Q(x,y)$是圆 $P$上的动点，当 $t$变化时，求 $y$的最大值.