2012年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）

$i$是虚数单位,复数 $\frac{7-i}{3+i}=$（）

设 $\phi \in R$则" $\phi =0$"是" $f\left(x\right)=\cos (x+\phi ),(x\in R)$为偶函数"的

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入 $x$的值为 $-25$时，输出 $x$的值为

函数 $f\left(x\right)=2^x+x^3-2$在区间(0,1)内的零点个数是（）

在 $(2x^2-\frac{1}{x}{)}^5$的二项展开式中， $x$的系数为

在 $△ABC$中，内角 $A,B,C$所对的边分别是 $a,b,c$，已知 $8b=5c$， $C=2B$，则 $\cos C$=（）

已知 $△ABC$为等边三角形， $AB=2$，设点 $P,Q$满足 $\stackrel{\rightharpoonup }{AP}=\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{AB}$， $\stackrel{\rightharpoonup }{AQ}=(1-\lambda )\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$， $\lambda \in R$，若 $\stackrel{\rightharpoonup }{BQ}·\stackrel{\rightharpoonup }{CP}=\frac{3}{2}$，则 $\lambda$=

设 $m,n\in R$,若直线 $\left(m+1\right)x+\left(n+1\right)y-2=0$与圆 ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$相切,则 $m+n$的取值范围是（）

某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.

一个几何体的三视图如图所示（单位： $m$），则该几何体的体积为 $m^3$.

已知集合 $A=\{x\in R|\left|x+2|<3\}\right|$，集合 $B=\{x\in R|(x-m)(x-2)<0\}$且 $A\cap B=(-1,n)$则 $m=$， $n=$.

已知抛物线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2p{t}^2\\ y=2pt\end{array}\right.$( $t$为参数),其中 $p>0$,焦点为 $F$,准线为 $l$.过抛物线上一点 $M$作 $l$的垂线,垂足为 $E$.若 $\left|EF\right|=\left|MF\right|$,点 $M$的横坐标是3,则 $p=$.

如图，已知 $AB$和 $AC$是圆的两条弦，过点 $B$作圆的切线与 $AC$的延长线相交于点 $D$. 过点 $C$作 $BD$的平行线与圆相交于点 $E$，与 $AB$相交于点 $F$， $AF=3,FB=1,EF=\frac{3}{2}$，则线段 $CD$的长为.

已知函数 $y=\frac{\left|x^2-1\right|}{x-1}$的图象与函数 $y=kx-1$的图象恰有两个交点，则实数 $k$的取值范围是.

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+2{\cos }^{2}x-1,x\in R$

（Ⅰ）求函数 $f\left(x\right)$的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)$在区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$上的最大值和最小值.

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用 $X,Y$分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $\xi =\left|X-Y\right|$，求随机变量 $\xi$的分布列与数学期望 $E\xi$.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中， $PA\perp$平面 $ABCD,AC\perp AD,AB\perp BC,\angle BAC={45}^{°},PA=AD=2,AC=1$.
（Ⅰ）证明 $PC\perp AD$；
（Ⅱ）求二面角 $A-PC-D$的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$为棱 $PA$上的点，满足异面直线 $BE$与 $CD$所成的角为 ${30}^{°}$，求 $AE$的长.

已知 $\left\{a_n\right\}$是等差数列，其前 $n$项和为 $S_n$， $\left\{b_n\right\}$是等比数列，且 $a_1=b_1=2,a_4+b_4=27$， $S_4-b_4=10$.
（Ⅰ）求数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_n=a_n{b}_1+a_{n-1}{b}_2+\cdots +a_1{b}_n$， $n\in N^{*}$，证明 $T_n+12=-2a_n+10b_n$（ $n\in N^{*}$）.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左、右顶点分别为 $A,B$，点 $P$在椭圆上且异于 $A,B$两点， $O$为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $AP$与 $BP$的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 $\left|AP\right|=\left|OA\right|$，证明直线 $OP$的斜率 $k$满足 $\left|k\right|>\sqrt{3}$

已知函数 $f\left(x\right)=x-\ln (x+a)$的最小值为0，其中 $a>0$

（Ⅰ）求 $a$的值；
（Ⅱ）若对任意的 $x\in [0,+\infty )$有 $f\left(x\right)\le k{x}^2$成立，求实数 $k$的最小值；
（Ⅲ）证明 $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{2}{2i-1}-\ln (2n+1)<2,(n\in N^{*})$.