设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左、右顶点分别为 $A,B$，点 $P$在椭圆上且异于 $A,B$两点， $O$为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $AP$与 $BP$的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 $\left|AP\right|=\left|OA\right|$，证明直线 $OP$的斜率 $k$满足 $\left|k\right|>\sqrt{3}$