已知函数 $f\left(x\right)=x-\ln (x+a)$的最小值为0，其中 $a>0$

（Ⅰ）求 $a$的值；
（Ⅱ）若对任意的 $x\in [0,+\infty )$有 $f\left(x\right)\le k{x}^2$成立，求实数 $k$的最小值；
（Ⅲ）证明 $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{2}{2i-1}-\ln (2n+1)<2,(n\in N^{*})$.