如图,在四棱锥 P - A B C D 中, P A ⊥ 平面 A B C D , A C ⊥ A D , A B ⊥ B C , ∠ B A C = 45 ° , P A = A D = 2 , A C = 1 . (Ⅰ)证明 P C ⊥ A D ; (Ⅱ)求二面角 A - P C - D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 P A 上的点,满足异面直线 B E 与 C D 所成的角为 30 ° ,求 A E 的长.
某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:每一组;第二组……第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (I)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (II)设、表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知. 求事件“”的概率.
已知函数. (I)当时取得极小值,求、的值; (II)当时,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
已知抛物线与过点的直线相交于两点,为原点.若和的斜率之和为1,(1)求直线的方程; (2)求的面积.
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中,为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1) 求的值; (2) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.(利润=销售额-成本)
椭圆方程为,过点的直线交椭圆于为坐标原点,点满足,当绕点旋转时,求动点的轨迹方程.