全国重点高中提前招生真题过关（四）

已知二次函数 $y=-{(x-h)}^2$（ $h$为常数），当自变量 $x$的值满足 $2⩽x⩽5$时，与其对应的函数值 $y$的最大值为 $-1$，则 $h$的值为（ ）

当 $a⩽x⩽a+1$时，函数 $y=x^2-2x+1$的最小值为 $1$，则 $a$的值为（ ）

四位同学在研究函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c(b,c$是常数）时，甲发现当 $x=1$时，函数有最小值;乙发现 $-1$是方程 $x^2+\mathit{bx}+c=0$的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 $x=2$时， $y=4$，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）

已知二次函数 $y=-x^2+x+6$及一次函数 $y=-x+m$，将该二次函数在 $x$轴上方的图象沿 $x$轴翻折到 $x$轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线 $y=-x+m$与新图象有 $4$个交点时， $m$的取值范围是（ ）

定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标是互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 $\mathit{OABC}$中，点 $A\left(0,2\right)$，点 $C\left(2,0\right)$，则“互异二次函数” $y={(x-m)}^2-m$与正方形 $\mathit{OABC}$有交点时 $m$的最大值和最小值分别是（ ）

已知抛物线 $y=x^2+\mathit{kx}-k^2$的对称轴在 $y$轴右侧，现将该抛物线先向右平移 $3$个单位长度，再向上平移 $1$个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 $k$的值是（ ）

$Rt△\mathit{ABC}$的三个顶点均在抛物线 $y=x^2$上，并且斜边 $\mathit{AB}//x$轴，若斜边上的高为 $h$，则（ ）

甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一个十分关键的球，出手点为 $P$，羽毛球距地面高度 $h\left(\text{m}\right)$与其飞行的水平距离 $s\left(\text{m}\right)$之间的关系式为 $h=\frac{1}{12}{s}^2+\frac{2}{3}s+\frac{3}{2}$.如图，已知球网 $\mathit{AB}$距原点 $5\text{m}$，乙（用线段 $\mathit{CD}$表示）扣球的最大高度为 $\frac{9}{4}\text{m}$，设乙的起跳点 $C$的横坐标为 $m$，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 $m$的取值范围是（ ）

以初速度 $v($单位: $\text{m}/\text{s})$从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度 $h$（单位: $\text{m}$）与小球的运动时间 $t$（单位: $\text{s}$）之间的关系式是 $h=\mathit{vt}-4.9t^2$.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为 $v_1$，经过时间 $t_1$落回地面，运动过程中小球的最大高度为 $h_1$（如图①）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为 $v_2$，经过时间 $t_2$落回地面，运动过程中小球的最大高度为 $h_2$（如图②）.若 $h_1=2h_2$，则 $t_1:t_2=$＿＿＿＿＿.

已知点 $A\left(x_1,5\right),B\left(x_2,5\right)$是函数 $y=x^2-2x+3$上两点，则当 $x=x_1+x_2$时，函数值 $y=$＿＿＿＿＿.

如果函数 $y=b$与函数 $y=x^2-3\left|x-1\right|-4x-3$的图象恰好有三个交点，则 $b=$＿＿＿＿＿.

二次函数 $y=x^2+2\mathit{ax}+a$在 $-1⩽x⩽2$上有最小值 $-4$，则 $a$的值为＿＿＿＿＿.

已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}$经过点 $A\left(4,0\right)$.设点 $C\left(1,-3\right)$，请在抛物线的对称轴上确定一点 $D$，使得 $\left|\mathit{AD}-\mathit{CD}\right|$的值最大，则 $D$点的坐标为＿＿＿＿＿.

如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为 $4，2$，则通过 $A,B,C\mathit{三点}$的抛物线对应的函数关系式是＿＿＿＿＿.

已知点 $A,B$的坐标分别为 $\left(1,0\right),\left(2,0\right)$.若二次函数 $y=x^2+\left(a-3\right)x+3$的图象与线段 $\mathit{AB}$只有一个交点，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

如图，抛物线 $y_1=a{(x+2)}^2-3$与 $y_2=\frac{1}{2}{(x-3)}^2+1$交于点 $A\left(1,3\right)$，过点 $A$作 $x$轴的平行线，分别交两条抛物线于点 $B,C$.则以下结论：

①无论 $x$取何值， $y_2$的值总是正数；② $a=1$；③当 $x=0$时， $y_2-y_1=4$；④ $2\mathit{AB}=3\mathit{AC}$.

其中正确的结论是＿＿＿＿＿.

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一轾，即三角形的三边长分别为 $a,b,c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，则其面积 $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.这个公式也被称为海伦秦九韶公式.若 $p=5,c=4$，求此三角形面积的最大值.

超市购进某种苹果，如果进价增加 $2$元 $/\text{kg}$要用300元；如果进价减少2元 $/\text{kg}$，同样数量的苹果只用 $200$元.

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过 $100\text{kg}$，就按原价购进；如果购进苹果超过 $100\text{kg}$，超过部分购进价格减少 $2$元 $/\text{kg}$，写出购进苹果的支出 $y($元 $)$与购进数量 $x\left(\text{kg}\right)$之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过 $300\text{kg}$，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 $z($元 $/\text{kg})$与一天销售数量 $x\left(\text{kg}\right)$的关系为 $z=-\frac{1}{100}x+12$.在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 $w$（元）最大，求一天购进的苹果数量.（利润=销售收入-购进支出）

我区某镇地理位置偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售.我区政府对该花木产品每投资 $x$万元，所获利润为 $P=-\frac{1}{50}{(x-30)}^2+10$万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 $50$万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出 $25$万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 $x$万元可获利润 $Q=-\frac{49}{50}{(50-x)}^2+\frac{194}{5}\left(50-x\right)+308$万元.

（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度（单位: $\mathrm{}\text{km}/\text{h}$）是车流密度（单位:辆 $/\text{km})$的函数.当桥上的车流密度达到 $200$辆 $/\text{km}$时，造成堵塞，此时车流速度为 $0$；当车流密度不超过 $20$辆 $/\text{km}$时，车流速度为 $60\text{km}/\text{h}$，研究表明:当 $0⩽x⩽200$时，车流速度是车流密度的一次函数.

（1）当 $0⩽x⩽200$时，求 $v$与 $x$之间的函数解析式 $v\left(x\right)$；

（2）当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位:辆 $/\text{h})f\left(x\right)=x\cdot v\left(x\right)$可以达到最大，并求出最大值（精确到辆 $/\text{h})$.

红星公司销售一种成本为 $40$元/件的产品，若月销售单价不高于 $50$元 $/$件，一个月可售出 $5$万件；月销售单价每涨价 $1$元，月销售量就减少 $0.1$万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为 $x$（单位:元/件），月销售量为 $y$（单位:万件）.

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元?

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 $70$元/件，月销售最大利润是 $78$万元，求 $a$的值.

在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 $A,B$两种农作物为原料开发了一种有机产品. $A$原料的单价是 $B$原料单价的 $1.5$倍，若用 $900$元收购 $A$原料会比用900元收购 $B$原料少 $100\text{kg}$.生产该产品每盒需要 $A$原料 $2\text{kg}$和 $B$原料 $4\text{kg}$，每盒还需其他成本 $9$元.市场调查发现:该产品每盒的售价是 $60$元时，每天可以销售 $500$盒；每涨价 $1$元，每天少销售 $10$盒.

（1）求每盒产品的成本（成本 $=$原料费 $+$其他成本 $)$；

（2）设每盒产品的售价是 $x$元（ $x$是整数），每天的利润是 $w$元，求 $w$关于 $x$的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过 $a$元（ $a$是大于 $60$的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润.

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话:

甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费 $3000$元，那么 $50$辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加 $50$元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 $200$元.

乙公司经理:我公司每辆汽车月租费 $3500$元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 $1850$元.

说明:①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题:

（1）当每个公司租出的汽车为 $10$辆时，甲公司的月利润是＿＿＿＿元；当每个公司租出的汽车为＿＿＿＿辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出 $1$辆汽车捐出 $a$元 $(a>0)$给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 $17$辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$的取值范围.