2020年全国统一高考文科数学试卷（新课标Ⅲ）

已知集合 $A=\left\{1，2，3，5，7，11\right\}$ ， $B=\left\{x|3<x<15\right\}$ ，则 A∩ B中元素的个数为（    ）

若 $\bar{z}\left(1+i\right)=1-i$ ，则 z=（    ）

设一组样本数据 x ₁， x ₂，…， x _n的方差为0.01，则数据10 x ₁，10 x ₂，…，10 x _n的方差为（    ）

Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I( t)( t的单位：天)的 Logistic模型： $I\left(t\right)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$ ，其中 K为最大确诊病例数．当 I( $t^{*}$ )=0.95 K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（    ）（ln19≈3）

已知 $\mathit{sin}\theta +\mathit{sin}\left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=1$ ，则 $\mathit{sin}\left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=$ （    ）

在平面内， A， B是两个定点， C是动点，若 $\overrightarrow{\mathit{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathit{BC}}=1$ ，则点 C的轨迹为（    ）

设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线 C： $y^2=2\mathit{px}(p>0)$ 交于 $D$ ， $E$ 两点，若 $\mathit{OD}\perp \mathit{OE}$ ，则 $C$ 的焦点坐标为（    ）

点(0，﹣1)到直线 $y=k\left(x+1\right)$ 距离的最大值为（    ）

下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）

设 $a={\mathit{log}}_{3}2$ ， $b={\mathit{log}}_{5}3$ ， $c=\frac{2}{3}$ ，则（    ）

在△ ABC中，cos C= $\frac{2}{3}$ ， AC=4， BC=3，则tan B=（    ）

已知函数 f( x)=sin x+ $\frac{1}{\mathit{sin}x}$ ，则（    ）

若x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y\ge 0,\\ 2x-y\ge 0，\\ x\le 1,\end{array}\right.$ ，则z=3x+2y的最大值为_________．

设双曲线C： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>0，b>0)的一条渐近线为y= $\sqrt{2}$x，则C的离心率为_________．

设函数 $f\left(x\right)=\frac{e^x}{x+a}$．若 $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{e}{4}$，则a=_________．

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

设等比数列{ a _n}满足 $a_1+a_2=4$ ， $a_3-a_1=8$ ．

（1）求{ a _n}的通项公式；

（2）记 $S_n$ 为数列{log ₃ a _n}的前 n项和．若 $S_m+{S_{m+}}_1={S_m}_{+3}$ ，求 m．

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

如图，在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $D{D}_1$ ， 上，且 $2\mathit{DE}=E{D}_1$ ， $\mathit{BF}=2F{B}_1$ ．证明：

（1）当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ 时， $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）点 $C_1$ 在平面 $\mathit{AEF}$ 内．

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-\mathit{kx}+k^2$ ．

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{m^2}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $\left|\mathit{BP}\right|=\left|\mathit{BQ}\right|$ ， $\mathit{BP}\perp \mathit{BQ}$ ，求 $△\mathit{APQ}$ 的面积．

在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2-t-t^2，\\ y=2-3t+t^2\end{array}\right.$ ( t为参数且 t≠1)， C与坐标轴交于 A， B两点.

（1）求| $\mathit{AB}$ |：

（2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB的极坐标方程.

设 a， b， c $\in$ R， a+ b+ c=0， abc=1．

（1）证明： ab+ bc+ ca<0；

（2）用max{ a， b， c}表示 a， b， c中的最大值，证明：max{ a， b， c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．