2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）

设集合 $A=\{-1,0,1\},B=\{1,3,5\},C=\{0,2,4\}$ , 则 $(A\cap B)\cup C=$ (    )

已知 $a\in \mathbb{R}$ , 则 $a>6$ 是 $a^2>36$ 的（ ）

函数 $f\left(x\right)=\frac{\mathit{ln}|x|}{x^2+2}$ 的图象大致为（ ）

从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部, 统计其评分数据, 将所得 400 个评分数据分为 8 组: $[66,70)$ , $[70,74),\cdots ,[94,98)$ , 并整理得到如下的频率分布直方图, 则评分在区间 $[82,86)$ 内的影视作品数量是（   ）.

设 , 则三者大小关系为（ ）.

两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上, 若球的体积为 $\frac{32\pi }{3}$ , 两个圆锥的高之比为 $1:3$ ，则这个圆锥的体积之和为（）

若 $2^a=5^b=10$ , 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\hspace{1em} )$

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{1em}(a>0,b>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^2=2\mathit{px}(p>0)$ 的焦点重合, 抛物线的 准线交双曲线于 $A,B$ 两点, 交双曲线的渐近线于 $C,D$ 两点, 若 $\left|\mathit{CD}\right|=\sqrt{2}\left|\mathit{AB}\right|$ , 则双曲线的离心率为(   )

设 $a\mathbb{\in }\mathbb{R}$ , 函数 $f（x）=\left\{\begin{array}{cc}\mathit{cos}(2\mathit{\pi x}-2\mathit{\pi a}),& x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5,& x⩾a\end{array}\right.$ 若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内恰有 6 个零点, 则（）

$i$ 是虛数单位，复数 $\frac{9+2i}{2+i}=$     .

在 ${\left(2x^3+\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中, $x^6$ 的系数是

若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 $A$, 与圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 相切于点 $B$, 则 $\left|\mathit{AB}\right|=$      .

已知 $a>0,b>0$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^2}+b$ 的最小值为      .

甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语, 若一方猜对且另一方猜错, 则猜对的一方获胜，否则本次平 局. 已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$和 $\frac{3}{5}$, 且每次活动中, 甲、乙猜对与否互不影响, 各次活动也互不影响, 则一次活动中, 甲获胜的概率为    ；3次活动中, 甲至少获胜 2 次的概率为    .

在边长为 1 的等边三角形 $△\mathit{ABC}$中, $D$ 为线段 $\mathit{BC}$上的动点, $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ 且交 $\mathit{AB}$ 于点 $E,$ $\mathit{DF}\Vert \mathit{AB}$且交 $\mathit{AC}$于点 $F$, 则 $|2\overrightarrow{\mathit{BE}}+\overrightarrow{\mathit{DF}}|$的值为        ; $(\overrightarrow{\mathit{DE}}+\overrightarrow{\mathit{DF}})\cdot \overrightarrow{\mathit{DA}}$ 的最小值为     .

在 $△\mathit{ABC}$ 中, 内角 $A,B,C$对边分别为 $\mathit{sin}A:\mathit{sin}B:\mathit{sin}C=2:1:\sqrt{2},b=\sqrt{2}$.

(1) 求 $a$ 的值.

(2) 求 $\mathit{cos}C$ 的值.

(3) 求 $\mathit{sin}\left(2C-\frac{\pi }{6}\right)$ 的值.

如图, 在棱长为 2 的正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $E,F$分别为棱 $\mathit{BC},\mathit{CD}$的中点.

(1) 求证： $D_{1}F\Vert A_{1}E{C}_1$.

(2) 求直线 $A{C}_1$ 与平面 $A_{1}E{C}_1$ 所成角的正弦值.

(3) 求二面角 $A-A_1{C}_1-E$ 的正弦值.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{1em}(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 上顶点为 $B$, 离心率为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, 且 $\left|\mathit{BF}\right|=\sqrt{5}$.

(1) 求椭圆的方程.

(2) 直线 $l$与椭圆有唯一的公共点 $M$, 与 $y$轴的正半轴交于点 $N$. 过 $N$与 $\mathit{BF}$垂直的直线交 $x$轴于点 $P$. 若 $\mathit{MP}\Vert \mathit{BF}$, 求直线 $l$的方程.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 2 的等差数列, 其前 8 项的和为 64 . 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列, $b_1=4$, $b_3-b_2=48$

(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式.

$\left(2\right)$ 记 $c_n=b_{2n}+\frac{1}{b_n}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

(1) 证明: $\left\{c_n^2-c_2\right\}$是等比数列.

(2) 证明: $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\sqrt{\frac{a_k{a}_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt{2}\hspace{1em}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

已知 $a>0$, 函数 $f\left(x\right)=\mathit{ax}-x{e}^x$.

(1) 求曲线 $f\left(x\right)$ 在点 $(0,f(0\left)\right)$ 处的切线方程.

(2) 证明: $f\left(x\right)$ 存在唯一的极值点.

(3) 若存在 $a$, 使得 $f\left(x\right)⩽a+b$ 对任意 $x\mathbb{\in }\mathbb{R}$ 成立, 求实数 $b$ 的取值范围.