2021年山东省烟台市中考数学试卷（含答案与解析）

若 $x$ 的相反数是3，则 $x$ 的值是 $($ 　　 $)$

下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是 $($ 　　 $)$

2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中 $\angle \alpha$ 的度数为 $($ 　　 $)$

如图，在直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在坐标轴上，若点 $B$ 的坐标为 $(-1,0)$ ， $\angle \mathit{BCD}=120°$ ，则点 $D$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：

按键的结果为 $m$ ；

按键的结果为 $n$ ；

按键的结果为 $k$ ．

下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-\mathit{mnx}+m+n=0$ ，其中 $m$ ， $n$ 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是 $($ 　　 $)$

连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为 $($ 　　 $)$

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．下列结论：

① $\mathit{ac}>0$ ；

②当 $x>0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

③ $3a+c=0$ ；

④ $a+b⩾a{m}^2+\mathit{bm}$ ．

其中正确的个数有 $($ 　　 $)$

由12个有公共顶点 $O$ 的直角三角形拼成的图形如图所示， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{BOC}=\dots =\angle \mathit{LOM}=30°$ ．若 $\mathit{OA}=16$ ，则 $\mathit{OG}$ 的长为 $($ 　　 $)$

若代数式 $\sqrt{2-x}$在实数范围内有意义，则 $x$的取值范围为 　　．

《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口 $A$ 处立一根垂直于井口的木杆 $\mathit{AB}$ ，从木杆的顶端 $B$ 观察井水水岸 $D$ ，视线 $\mathit{BD}$ 与井口的直径 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，如果测得 $\mathit{AB}=1$ 米， $\mathit{AC}=1.6$ 米， $\mathit{AE}=0.4$ 米，那么 $\mathit{CD}$ 为 　　米．

幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字 $1~9$分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则 $a$的值为 　　．

数学兴趣小组根据无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为 $30°$ ，则旗杆的高度约为 　　       

米．

（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，点 $A$ ， $B$ ， $O$ 在网格线的交点上，则 $\sin \angle \mathit{ACB}$ 的值是 　　．

综合实践活动课上，小亮将一张面积为 $24c{m}^2$ ，其中一边 $\mathit{BC}$ 为 $8\mathit{cm}$ 的锐角三角形纸片（如图 $1)$ ，经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 $\mathit{BCDE}$ （如图 $2)$ ，则矩形的周长为 　　 $\mathit{cm}$ ．

先化简，再求值： $(\frac{2x+5}{x^2-1}-\frac{3}{x-1})÷\frac{2-x}{x^2-2x+1}$，从 $-2<x⩽2$中选出合适的 $x$的整数值代入求值．

2021年是中国共产党成立100周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：

甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．

乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89

（1）按如表分数段整理两班测试成绩

表中 $a=$　　；

（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

表中 $x=$　　， $y=$　　．

（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 　　班；

（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，根据树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

如图，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线 $\mathit{AD}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ；

②作线段 $\mathit{AD}$ 的垂直平分线 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $\mathit{OD}$ 长为半径画圆，交边 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（3）若 $\mathit{AM}=4\mathit{BM}$ ， $\mathit{AC}=10$ ，求 $\odot O$ 的半径．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEGF}$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{DE}$ ， $M$ 是 $\mathit{BF}$ 的中点，连接 $\mathit{AM}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的数量关系是 　　，位置关系是 　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $\mathit{AEGF}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45°$ ，点 $G$ 恰好落在边 $\mathit{AB}$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(-2,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=2\mathit{OA}$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y=\mathit{mx}+n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $\mathit{BC}$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的最小值；

（3）连接 $\mathit{AC}$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $\text{Rt}\Delta \text{PEQ}$ ，且满足 $\tan \angle \mathit{EQP}=\tan \angle \mathit{OCA}$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．