2016年全国统一高考数学试卷（上海市理科数学试卷）

设 $x\in R$，则不等式 $|x-3|<1$的解集为　　．

设 $z=\frac{3+2i}{i}$，其中 $i$为虚数单位，则 $\mathit{Imz}=$　　．

已知平行直线 $l_1:2x+y-1=0$， $l_2:2x+y+1=0$，则 $l_1$， $l_2$的距离　　．

某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　　（米 $)$．

已知点 $(3,9)$在函数 $f\left(x\right)=1+a^x$的图象上，则 $f\left(x\right)$的反函数 $f^{-1}\left(x\right)=$　　．

在正四棱柱 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，底面 $\mathit{ABCD}$的边长为3， $B{D}_1$与底面所成角的大小为 $\arctan \frac{2}{3}$，则该正四棱柱的高等于　　．

方程 $3\sin x=1+\cos 2x$在区间 $[0$， $2\pi ]$上的解为　　．

在 ${(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x})}^n$的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．

设 $a>0$， $b>0$，若关于 $x$， $y$的方程组 $\left\{\begin{array}{c}\mathit{ax}+y=1\\ x+\mathit{by}=1\end{array}\right.$无解，则 $a+b$的取值范围为　　．

无穷数列 $\left\{a_n\right\}$由 $k$个不同的数组成， $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，若对任意 $n\in N^{*}$， $S_n\in \{2$， $3\}$，则 $k$的最大值为　　．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,0)$， $B(0,-1)$， $P$是曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$上一个动点，则 $\overrightarrow{\mathit{BP}}·\overrightarrow{\mathit{BA}}$的取值范围是　　．

设 $a$， $b\in R$， $c\in [0$， $2\pi )$，若对于任意实数 $x$都有 $2\sin (3x-\frac{\pi }{3})=a\sin (\mathit{bx}+c)$，则满足条件的有序实数组 $(a$， $b$， $c)$的组数为　　．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $O$为正八边形 $A_1{A}_2\dots A_8$的中心， $A_1(1,0)$任取不同的两点 $A_i$， $A_j$，点 $P$满足 $\overrightarrow{\mathit{OP}}+\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_j}=\vec{0}$，则点 $P$落在第一象限的概率是　　．

设 $a\in R$ ，则" $a>1$ "是" $a^2>1$ "的 $($ 　　 $)$

下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是 $($ 　　 $)$

已知无穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$ ，下列条件中，使得 $2S_n<S(n\in N^{*})$ 恒成立的是 $($ 　　 $)$

设 $f\left(x\right)$ 、 $g\left(x\right)$ 、 $h\left(x\right)$ 是定义域为 $R$ 的三个函数，对于命题：① $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ 、 $f\left(x\right)+h\left(x\right)$ 、 $g\left(x\right)+h\left(x\right)$ 均为增函数，则 $f\left(x\right)$ 、 $g\left(x\right)$ 、 $h\left(x\right)$ 中至少有一个增函数；②若 $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ 、 $f\left(x\right)+h\left(x\right)$ 、 $g\left(x\right)+h\left(x\right)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f\left(x\right)$ 、 $g\left(x\right)$ 、 $h\left(x\right)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是 $($ 　　 $)$

将边长为1的正方形 $A{A}_1{O}_{1}O$（及其内部）绕 $O{O}_1$旋转一周形成圆柱，如图， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$长为 $\frac{2}{3}\pi$， $\stackrel{̂}{A1B1}$长为 $\frac{\pi }{3}$，其中 $B_1$与 $C$在平面 $A{A}_1{O}_{1}O$的同侧．

（1）求三棱锥 $C-O_1{A}_1{B}_1$的体积；

（2）求异面直线 $B_{1}C$与 $A{A}_1$所成的角的大小．

有一块正方形 $\mathit{EFGH}$， $\mathit{EH}$所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 $F$点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 $S_1$和 $S_2$，其中 $S_1$中的蔬菜运到河边较近， $S_2$中的蔬菜运到 $F$点较近，而菜地内 $S_1$和 $S_2$的分界线 $C$上的点到河边与到 $F$点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$为 $\mathit{EF}$的中点，点 $F$的坐标为 $(1,0)$，如图

（1）求菜地内的分界线 $C$的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_1$面积是 $S_2$面积的两倍，由此得到 $S_1$面积的经验值为 $\frac{8}{3}$．设 $M$是 $C$上纵坐标为1的点，请计算以 $\mathit{EH}$为一边，另一边过点 $M$的矩形的面积，及五边形 $\mathit{EOMGH}$的面积，并判断哪一个更接近于 $S_1$面积的“经验值”．

双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1$， $F_2$，直线 $l$过 $F_2$且与双曲线交于 $A$， $B$两点．

（1）直线 $l$的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$，△ $F_1\mathit{AB}$是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$的斜率存在，且 $(\overrightarrow{F_{1}A}+\overrightarrow{F_{1}B})·\overrightarrow{\mathit{AB}}=0$，求 $l$的斜率．

已知 $a\in R$，函数 $f\left(x\right)={\log }_2(\frac{1}{x}+a)$．

（1）当 $a=5$时，解不等式 $f\left(x\right)>0$；

（2）若关于 $x$的方程 $f\left(x\right)-{\log }_2\left[\right(a-4)x+2a-5]=0$的解集中恰好有一个元素，求 $a$的取值范围．

（3）设 $a>0$，若对任意 $t\in [\frac{1}{2}$， $1]$，函数 $f\left(x\right)$在区间 $[t$， $t+1]$上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$的取值范围．

若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$满足：只要 $a_p=a_q(p,q\in N^{*})$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$．

（1）若 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$，且 $a_1=1$， $a_2=2$， $a_4=3$， $a_5=2$， $a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$；

（2）若无穷数列 $\left\{b_n\right\}$是等差数列，无穷数列 $\left\{c_n\right\}$是公比为正数的等比数列， $b_1=c_5=1$； $b_5=c_1=81$， $a_n=b_n+c_n$，判断 $\left\{a_n\right\}$是否具有性质 $P$，并说明理由；

（3）设 $\left\{b_n\right\}$是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin a_n(n\in N^{*})$，求证：“对任意 $a_1$， $\left\{a_n\right\}$都具有性质 $P$”的充要条件为“ $\left\{b_n\right\}$是常数列”．