2019年广西贵港市中考数学试卷

计算 ${(-1)}^3$的结果是 $($　　 $)$

A ． $-1$B ． 1C ． $-3$D ． 3

某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是 $($　　 $)$

A．B．C．D．

若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是 $($　　 $)$

A．9，9B．10，9C．9，9.5D．11，10

若分式 $\frac{x^2-1}{x+1}$的值等于0，则 $x$的值为 $($　　 $)$

A． $\pm 1$B．0C． $-1$D．1

下列运算正确的是 $($　　 $)$

A． $a^3+{(-a)}^3=-a^6$B． ${(a+b)}^2=a^2+b^2$C． $2a^2·a=2a^3$D． ${\left(a{b}^2\right)}^3=a^3{b}^5$

若点 $P(m-1,5)$与点 $Q(3,2-n)$关于原点成中心对称，则 $m+n$的值是 $($　　 $)$

A．1B．3C．5D．7

若 $\alpha$， $\beta$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-2x+m=0$的两实根，且 $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=-\frac{2}{3}$，则 $m$等于 $($　　 $)$

A． $-2$B． $-3$C．2D．3

下列命题中假命题是 $($　　 $)$

A．对顶角相等B．直线 $y=x-5$不经过第二象限

C．五边形的内角和为 $540°$D．因式分解 $x^3+x^2+x=x(x^2+x)$

如图， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$，若 $\angle \mathit{AOB}=40°$，则圆周角 $\angle \mathit{BPC}$的度数是 $($　　 $)$

A． $40°$B． $50°$C． $60°$D． $70°$

将一条宽度为 $2\mathit{cm}$的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为 $\mathit{AB}$，重叠部分为 $\mathit{\Delta ABC}$（图中阴影部分），若 $\angle \mathit{ACB}=45°$，则重叠部分的面积为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{2}c{m}^2$B． $2\sqrt{3}c{m}^2$C． $4c{m}^2$D． $4\sqrt{2}c{m}^2$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$边上， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACD}=\angle B$，若 $\mathit{AD}=2\mathit{BD}$， $\mathit{BC}=6$，则线段 $\mathit{CD}$的长为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{3}$B． $3\sqrt{2}$C． $2\sqrt{6}$D．5

如图， $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$的中点，点 $H$与 $B$关于 $\mathit{CE}$对称， $\mathit{EH}$的延长线与 $\mathit{AD}$交于点 $F$，与 $\mathit{CD}$的延长线交于点 $N$，点 $P$在 $\mathit{AD}$的延长线上，作正方形 $\mathit{DPMN}$，连接 $\mathit{CP}$，记正方形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{DPMN}$的面积分别为 $S_1$， $S_2$，则下列结论错误的是 $($　　 $)$

A． $S_1+S_2=C{P}^2$B． $\mathit{AF}=2\mathit{FD}$C． $\mathit{CD}=4\mathit{PD}$D． $\cos \angle \mathit{HCD}=\frac{3}{5}$

有理数9的相反数是　　．

将实数 $3.18\times {10}^{-5}$用小数表示为　　．

如图，直线 $a//b$，直线 $m$与 $a$， $b$均相交，若 $\angle 1=38°$，则 $\angle 2=$　　．

若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是　　．

如图，在扇形 $\mathit{OAB}$中，半径 $\mathit{OA}$与 $\mathit{OB}$的夹角为 $120°$，点 $A$与点 $B$的距离为 $2\sqrt{3}$，若扇形 $\mathit{OAB}$恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为　　．

我们定义一种新函数：形如 $y=|a{x}^2+\mathit{bx}+c|(a\ne 0,b^2-4\mathit{ac}>0)$的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 $y=|x^2-2x-3|$的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为 $(-1,0)$， $(3,0)$和 $(0,3)$；②图象具有对称性，对称轴是直线 $x=1$；③当 $-1⩽x⩽1$或 $x⩾3$时，函数值 $y$随 $x$值的增大而增大；④当 $x=-1$或 $x=3$时，函数的最小值是0；⑤当 $x=1$时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是　　．

（1）计算： $\sqrt{4}-{(\sqrt{3}-3)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}-4\sin 30°$；

（2）解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}6x-2>2(x-4)\\ \frac{2}{3}-\frac{3-x}{2}⩽-\frac{x}{3}\end{array}\right.$，并在数轴上表示该不等式组的解集．

尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） $:$

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$，请根据“ $\mathit{SAS}$”基本事实作出 $\mathit{\Delta DEF}$，使 $\mathit{\Delta DEF}\cong \mathit{\Delta ABC}$．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，点 $A$的坐标为 $(1,0)$，点 $D(4,4)$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $y=\frac{2}{3}x+b$经过点 $C$，与 $y$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AE}$．

（1）求 $k$， $b$的值；

（2）求 $\mathit{\Delta ACE}$的面积．

为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩 $(x$分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）填空： $a=$　　， $b=$　　， $n=$　　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）该校对考试成绩为 $91⩽x⩽100$的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为 $1:3:6$，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的 $5.6\%$，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，以 $\mathit{BC}$边为直径作半圆 $O$， $\mathit{OE}\perp \mathit{OA}$交 $\mathit{CD}$边于点 $E$，对角线 $\mathit{AC}$与半圆 $O$的另一个交点为 $P$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是半圆 $O$的切线；

（2）若 $\mathit{PA}=2$， $\mathit{PC}=4$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点为 $A(4,3)$，与 $y$轴相交于点 $B(0,-5)$，对称轴为直线 $l$，点 $M$是线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点 $M$的坐标并求直线 $\mathit{AB}$的表达式；

（3）设动点 $P$， $Q$分别在抛物线和对称轴 $l$上，当以 $A$， $P$， $Q$， $M$为顶点的四边形是平行四边形时，求 $P$， $Q$两点的坐标．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针方向旋转得到△ $A\text{'}B\text{'}C$，记旋转角为 $\alpha$，当 $90°<\alpha <180°$时，作 $A\text{'}D\perp \mathit{AC}$，垂足为 $D$， $A\text{'}D$与 $B\text{'}C$交于点 $E$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{CA}\text{'}D=15°$时，作 $\angle A\text{'}\mathit{EC}$的平分线 $\mathit{EF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

①写出旋转角 $\alpha$的度数；

②求证： $\mathit{EA}\text{'}+\mathit{EC}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，在（1）的条件下，设 $P$是直线 $A\text{'}D$上的一个动点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PF}$，若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PA}+\mathit{PF}$的最小值．（结果保留根号）