2019年吉林省长春市中考数学试卷

如图，数轴上表示 $- 2$ 的点 $A$ 到原点的距离是 $($ 　　 $)$

A．

$- 2$

B．

2

C．

$- \frac{1}{2}$

D．

$\frac{1}{2}$

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2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

A．

$27.5 \times 10^{7}$

B．

$0.275 \times 10^{9}$

C．

$2.75 \times 10^{8}$

D．

$2.75 \times 10^{9}$

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如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是 $($ 　　 $)$

A．

B．

C．

D．

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不等式 $- x + 2 ⩾ 0$ 的解集为 $($ 　　 $)$

A．

$x ⩾ - 2$

B．

$x ⩽ - 2$

C．

$x ⩾ 2$

D．

$x ⩽ 2$

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《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中"盈不足术"记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 $x$ ，买鸡的钱数为 $y$ ，可列方程组为 $($ 　　 $)$

A．	$\{\begin{matrix} 9 x + 11 = y \\ 6 x + 16 = y \end{matrix}$	B．	$\{\begin{matrix} 9 x - 11 = y \\ 6 x - 16 = y \end{matrix}$
C．	$\{\begin{matrix} 9 x + 11 = y \\ 6 x - 16 = y \end{matrix}$	D．	$\{\begin{matrix} 9 x - 11 = y \\ 6 x + 16 = y \end{matrix}$

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如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 $AB$ 的长是3米．若梯子与地面的夹角为 $α$ ，则梯子顶端到地面的距离 $BC$ 为 $($ 　　 $)$

A．

$3 \sin α$ 米

B．

$3 \cos α$ 米

C．

$\frac{3}{\sin α}$ 米

D．

$\frac{3}{\cos α}$ 米

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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB$ 为钝角．用直尺和圆规在边 $AB$ 上确定一点 $D$ ．使 $∠ ADC = 2 ∠ B$ ，则符合要求的作图痕迹是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

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如图，在平面直角坐标系中， $Rt Δ ABC$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 的坐标分别是 $(0, 3)$ 、 $(3$ 、 $0)$ ． $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = 2 BC$ ，则函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{9}{2}$

B．

9

C．

$\frac{27}{8}$

D．

$\frac{27}{4}$

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计算： $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} =$ 　　．

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分解因式： $ab + 2 b =$ 　　．

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一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根的判别式的值是　　．

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如图，直线 $MN / / PQ$ ，点 $A$ 、 $B$ 分别在 $MN$ 、 $PQ$ 上， $∠ MAB = 33 °$ ．过线段 $AB$ 上的点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 交 $PQ$ 于点 $D$ ，则 $∠ CDB$ 的大小为　　度．

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如图，有一张矩形纸片 $ABCD$ ， $AB = 8$ ， $AD = 6$ ．先将矩形纸片 $ABCD$ 折叠，使边 $AD$ 落在边 $AB$ 上，点 $D$ 落在点 $E$ 处，折痕为 $AF$ ；再将 $ΔAEF$ 沿 $EF$ 翻折， $AF$ 与 $BC$ 相交于点 $G$ ，则 $ΔGCF$ 的周长为　　．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + \frac{8}{3} (a > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $M$ ． $P$ 为抛物线的顶点．若直线 $OP$ 交直线 $AM$ 于点 $B$ ，且 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，则 $a$ 的值为　　．

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先化简，再求值： ${(2 a + 1)}^{2} - 4 a (a - 1)$ ，其中 $a = \frac{1}{8}$ ．

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一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”、“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．

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为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．

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如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，以边 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ ，点 $E$ 在 $BC$ 边上，连结 $AE$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $BF$ 并延长交 $CD$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔBCG$ ；

（2）若 $∠ AEB = 55 °$ ， $OA = 3$ ，求劣弧 $\hat{BF}$ 的长．（结果保留 $π)$

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网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时） $:$

3	2.5	0.6	1.5	1	2	2	3.3	2.5	1.8
2.5	2.2	3.5	4	1.5	2.5	3.1	2.8	3.3	2.4

整理上面的数据，得到表格如下：

网上学习时间 $x$ （时 $)$	$0 < x ⩽ 1$	$1 < x ⩽ 2$	$2 < x ⩽ 3$	$3 < x ⩽ 4$
人数	2	5	8	5

样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

统计量	平均数	中位数	众数
数值	2.4	$m$	$n$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上表中的中位数 $m$ 的值为　　，众数 $n$ 的值为　　．

（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．

（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．

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图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

（1）在图①中以线段 $AB$ 为边画一个 $ΔABM$ ，使其面积为6．

（2）在图②中以线段 $CD$ 为边画一个 $ΔCDN$ ，使其面积为6．

（3）在图③中以线段 $EF$ 为边画一个四边形 $EFGH$ ，使其面积为9，且 $∠ EFG = 90 °$ ．

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已知 $A$ 、 $B$ 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米 $/$ 时的速度沿此公路从 $A$ 地匀速开往 $B$ 地，乙车从 $B$ 地沿此公路匀速开往 $A$ 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 $y$ （千米）与甲车的行驶时间 $x$ （时 $)$ 之间的函数关系如图所示．

（1）乙车的速度为　　千米 $/$ 时， $a =$ 　　， $b =$ 　　．

（2）求甲、乙两车相遇后 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）当甲车到达距 $B$ 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

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教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．

例2 如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $BC$ ， $AB$ 的中点， $AD$ ， $CE$ 相交于点 $G$ ，求证： $\frac{GE}{CE} = \frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$

证明：连结 $ED$ ．

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

结论应用：在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于点 $O$ ， $E$ 为边 $BC$ 的中点， $AE$ 、 $BD$ 交于点 $F$ ．

（1）如图②，若 $▱ ABCD$ 为正方形，且 $AB = 6$ ，则 $OF$ 的长为　　．

（2）如图③，连结 $DE$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，若四边形 $OFEG$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则 $▱ ABCD$ 的面积为　　．

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 20$ ， $BC = 15$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AC$ 向终点 $C$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $CB$ 运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点 $P$ 到达终点时， $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，过点 $P$ 作 $PN ⊥ AB$ 于点 $N$ ，连结 $PQ$ ，以 $PN$ 、 $PQ$ 为邻边作 $▱ PQMN$ ．设 $▱ PQMN$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）① $AB$ 的长为　　；

② $PN$ 的长用含 $t$ 的代数式表示为　　．

（2）当 $▱ PQMN$ 为矩形时，求 $t$ 的值；

（3）当 $▱ PQMN$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形为四边形时，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）当过点 $P$ 且平行于 $BC$ 的直线经过 $▱ PQMN$ 一边中点时，直接写出 $t$ 的值．

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已知函数 $y = \{\begin{matrix} - x^{2} + nx + n, (x ⩾ n), \\ - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{n}{2} x + \frac{n}{2}, (x < n) \end{matrix} (n$ 为常数）

（1）当 $n = 5$ ，

①点 $P (4, b)$ 在此函数图象上，求 $b$ 的值；

②求此函数的最大值．

（2）已知线段 $AB$ 的两个端点坐标分别为 $A (2, 2)$ 、 $B (4, 2)$ ，当此函数的图象与线段 $AB$ 只有一个交点时，直接写出 $n$ 的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到 $x$ 轴的距离等于4，求 $n$ 的取值范围．

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