高中数学基本不等式及其应用试题

设 $x>0,y>0,x+2y=5$，则 $\frac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{\mathit{xy}}}$的最小值为_____________．

李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付 $x$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当 $x=10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为__________．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，P是曲线 $y=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.

若实数满足，且，则的最小值为        .

已知实数x,y满足x²＋y²＝1，则(1－xy)(1＋xy)有（    ）

A．最小值和最大值1	B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值	D．最小值1

（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．

已知且，则的最小值是        .

设 $a>0,b>0$，已知函数 $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+1}$．
（Ⅰ）当 $a\ne b$时，讨论函数 $f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）当 $x>0$时，称 $f\left(x\right)$为 $a,b$关于 $x$的加权平均数．
（1）判断 $f\left(1\right),f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right),f\left(\frac{b}{a}\right)$是否成等比数列，并证明 $f\left(\frac{b}{a}\right)\le f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$；
（2） $a,b$的几何平均数记为 $G$．称 $\frac{2ab}{a+b}$为 $a,b$的调和平均数，记为 $H$．若 $H\le f\left(x\right)\le G$，求 $x$的取值范围．

据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．
（1）试将表示为的函数； （2）若，且时，取得最小值，试求的值．

若正实数满足，且恒成立，则的最大值为.