初中数学圆幂定理试题

木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：圆心O₁，O₂分别在CD，AB上，半径分别是O₁C，O₂A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案四：锯一块小矩形BCEF拼接到矩形AEFD下面，并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。
（1）写出方案一中的圆的半径；
（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
（3）在方案四中，设CE=（），圆的半径为，
①求关于的函数解析式；
②当取何值时圆的半径最大？最大半径是多少？并说明四种方案中，哪一个圆形桌面的半径最大？

已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．

（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积.

在平面直角坐标系中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作.
（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），
①直线：，直线：，直线：，直线：都经过点P，在直线， ， ， 中，是⊙O的“x关联直线”的是     ；
②若直线是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标的最大值是    ；
（2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，
①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线”：，点M的横坐标为，当最大时，求k的值；
②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标，⊙A的两条“x关联直线”,是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由．

选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．

（1）求证：直线CD 是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=，BD=2，求S_△ABE的面积
题乙：已知：一元二次方程x²﹣ax﹣3= 0
（1）求证：无论a取何值关于x的一元二次方程总有不等的实根。
（2）如果m，n是方程的两根且m²+n²=22试求a的值

如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝120°，弦AB＝2，点M是弧AB上任意一点（与端点A、B不重合），ME⊥AB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作⊙M， 分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C．

（1）求弧AB的长；
（2）试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变，若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由．

（本题10分）如图，已知等边ΔABC，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作⊙O的切线 DF交AC于点F，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，连结GD．
   
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若AB=8，求tan∠FGD的值．         

如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．

如图，∠AOB＝30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃、…、半圆C_n的半径分别是r₁、r₂、r₃、、r_n，则＝__________

如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点,交直线于点,设.
当时,求的长；
当时,求线段的长；
若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_______.(直接写出答案)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC="4" cm ，BC="3" cm，⊙O为△ABC的内切圆.
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆.设点P运动的时间为 t s.若⊙P与⊙O相切，求t的值.

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形 是点A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．
①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为               ；
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为          ；
（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；
（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．

如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

一块△ABC余料，已知AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是    ．