初中数学三角形的五心试题

问题探究
（1）如图1，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
问题解决
（2）如图2，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
   

已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．

（1）如图2，在△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°．请在图中画出△ABC的关于点B 的伴侣分割线，并标注角度；
（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．

如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，D．E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE，求证：MD＝ME．

如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
 
（1） 如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出∠AEB的大小．
（2） 如图2，已知AB不平行CD， AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F．∠ADC的角平分线DE和∠BCD的角平分线CE相交于点E．
① 点A、B在运动的过程中，∠F的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由．
② 点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由．

（本小题满分9分）如图1，已知B点坐标是（6，6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上,DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．

（1）点M的坐标是（        ，        ），DE=        ；
（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE,P为FG的中点，Q为GH的中点,F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．
（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？

（本题14分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．

（1）求梯形ABCD的面积；
（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

（本题8分）如图，点C、E、B和F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF．

求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥ED．

已知，四边形ABCD，连接AC，∠ABC=∠BAC=∠DAC=∠ADC，若DC=2AD=4，则△ABC的面积为_____________．

已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB的顶点A、B的坐标分别是A（0，5），B（3，1），过点B画BC⊥AB交直线y=﹣m（m＞）于点C，连结AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点D，连结AD、CD．

（1）求证：△ABC≌△AOD；
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式；
（3）若四边形ABCD恰有一组对边平行，求m的值．

如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．

如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．

（1）求线段AB的长．
（2）当t为何值时，MN∥CD？
（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

如图（1），在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，如图（2）以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）如图（3），当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）如图（4），当等边△EFG的顶点G恰好落在CD边上时，求运动时间t的值；
（3）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，△AA₁C₁是边长为1的等边三角形，点C₁在y轴的正半轴上，以AA₂=2为边长画等边△AA₂C₂；以AA₃=4为边长画等边△AA₃C₃，…，按此规律继续画等边三角形，则点A_n的坐标为                ．

已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A的度数．