等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题,在解题中,灵活运用等面积法解决相关问题,可以使解题思路清晰,解题过程简便快捷.
(1)在直角三角形中,两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为 ,其内切圆的半径长为 ;
(2)①如图1, 是边长为 的正 内任意一点,点 为 的中心,设点 到 各边距离分别为 , , ,连接 , , ,由等面积法,易知 ,可得 ;(结果用含 的式子表示)
②如图2, 是边长为 的正五边形 内任意一点,设点 到五边形 各边距离分别为 , , , , ,参照①的探索过程,试用含 的式子表示 的值.(参考数据: ,
(3)①如图3,已知 的半径为2,点 为 外一点, , 切 于点 ,弦 ,连接 ,则图中阴影部分的面积为 ;(结果保留
②如图4,现有六边形花坛 ,由于修路等原因需将花坛进行改造,若要将花坛形状改造成五边形 ,其中点 在 的延长线上,且要保证改造前后花坛的面积不变,试确定点 的位置,并说明理由.
阅读下列材料:
已知:如图1,等边△ 内接于 ,点 是 上的任意一点,连接 , , ,可证: ,从而得到: 是定值.
(1)以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整;
证明:如图1,作 , 交 的延长线于点 .
△ 是等边三角形,
,
又 , ,
△ △
.
,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△ ”改为“正方形 ”,其余条件不变,请问: 还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△ ”改为“正五边形 ”,其余条件不变,则 (只写出结果).
已知: 是正方形 的外接圆,点 在 上,连接 、 ,点 在 上连接 、 , 与 、 分别交于点 、点 ,且 平分 .
(1)如图1,求证: ;
(2)如图2,在线段 上取一点 (点 不与点 、点 重合),连接 交 于点 ,过点 作 交 于点 ,过点 作 ,垂足为点 ,当 时,求证: ;
(3)如图3,在(2)的条件下,当 时,延长 交 于点 ,连接 ,若 的面积与 的面积的差为 ,求线段 的长.
如图,正六边形 内接于 , 是 的直径,连接 ,延长 ,过 作 ,垂足为 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)已知 ,求图中阴影部分的面积.
某同学在学习了正多边形和圆之后,对正五边形的边及相关线段进行研究,发现多处出现著名的黄金分割比 .如图,圆内接正五边形 ,圆心为 , 与 交于点 , 、 与 分别交于点 、 .根据圆与正五边形的对称性,只对部分图形进行研究.(其它可同理得出)
(1)求证: 是等腰三角形且底角等于 ,并直接说出 的形状;
(2)求证: ,且其比值 ;
(3)由对称性知 ,由(1)(2)可知 也是一个黄金分割数,据此求 的值.