初中数学圆内接四边形的性质解答题

某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长。
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
   

在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，其中交直线于点．
（1）依题意补全图1；
（2）若，求的度数；
（3）如图2，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
   

如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm²？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

（本小题满分11分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.

（1）求证：△ADE≌△DCF；
（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；
（3）连接AQ，设S_△CEQ=S₁，S_△AED=S₂，S_△EAQ=S₃，在（2）的条件下，判断S₁+S₂=S₃是否成立？并说明理由．

（本题12分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

（本题8分）如图，在□ABCD中，、是、的中点，、的延长线分别交、的延长线于、；

（1）求证：BH=AB；
（2）若四边形为菱形，试判断与的大小，并证明你的结论．

如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且AE⊥BD，
CF⊥BD．求证：BE＝DF

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{BD}$ 为直径， $\stackrel{̂}{\text{AD}}$ 上存在点 $E$ ，满足 $\widehat{A\text{E}}=\widehat{\text{CD}}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 的延长线于点 $F$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{AD}$ 交于点 $G$ ．

（1）若 $\angle \mathit{DBC}=\alpha$ ，请用含 $\alpha$ 的代数式表示 $\angle \mathit{AGB}$ ．

（2）如图2，连结 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CE}=\mathit{BG}$ ．求证： $\mathit{EF}=\mathit{DG}$ ．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{CG}$ ， $\mathit{AD}=2$ ．

①若 $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\mathit{\Delta FGD}$ 的周长．

②求 $\mathit{CG}$ 的最小值．

已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图②，△GMN从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值．
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长
线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF=∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．

问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：                                                        ；
依据2：                                                        ．
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形 是点A，B，C的最佳外延矩形．

（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．
①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为               ；
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为          ；
（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；
（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．

（本题14分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B₁是点B关于PQ的对称点。
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ:BP=1:2，且点B₁落在OA上，求点B₁的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B₁作B₁F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B₁E: B₁F=1:3，点B₁的横坐标为，求点B₁的纵坐标，并直接写出的取值范围。

【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．

【规律探索】
（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．
求证：①ME=NF；②MN∥BC．
【解决问题】
（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；
（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．