初中数学圆周角定理试题

（1）方法选择

如图①，四边形是的内接四边形，连接，，．求证：．

小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接

小军认为可用补短法证明：延长至点，使得

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形是的内接四边形，连接，，是的直径，．试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　．

如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；

（3）设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）当点恰好落在线段上时，求的长；

（3）设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．

如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．

（1）求证：．

（2）当，时，求的长．

（3）设，．

①求关于的函数表达式；

②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值．

已知是的直径，是的切线，是上的点，，是直径上的动点，与直线上的点连线距离的最小值为，与直线上的点连线距离的最小值为．

（1）求证：是的切线；

（2）设，求的正弦值；

（3）设，，求的取值范围．

已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．

（1）如图1，如果，求弦的长；

（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；

（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．

问题提出：

（1）如图1，已知，试确定一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔，按规定，要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到塔的距离为50米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔的占地面积忽略不计）

问题提出

（1）如图①，已知直线及外一点，试在直线上确定、两点，使，并画出这个．

问题探究

（2）如图②，是边长为28的正方形的对称中心，是边上的中点，连接．试在正方形的边上确定点，使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分．求点到点的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园，，．根据设计要求，点、在对角线上，且，并在四边形区域内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：，