初中数学矩形的性质试题

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$， $E$为边 $\mathit{CD}$上一点．将 $\mathit{\Delta BCE}$沿 $\mathit{BE}$所在的直线折叠，点 $C$恰好落在 $\mathit{AD}$边上的点 $F$处，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp \mathit{BE}$，垂足为点 $M$，取 $\mathit{AF}$的中点 $N$，连接 $\mathit{MN}$，则 $\mathit{MN}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$恰好落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，若 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{ECA}$，则 $\mathit{AC}$的长是 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{3}$B．4C．5D．6

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{DC}$上，将矩形沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上的点 $F$处．若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=5$，则 $\tan \angle \mathit{DAE}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{9}{20}$C． $\frac{2}{5}$D． $\frac{1}{3}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$， $E$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{DC}$上，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{EG}$， $\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta ABG}$和 $\mathit{\Delta ECG}$分别沿 $\mathit{AG}$， $\mathit{EG}$折叠，使点 $B$， $C$恰好落在 $\mathit{AE}$上的同一点，记为点 $F$．若 $\mathit{CE}=3$， $\mathit{CG}=4$，则 $\sin \angle \mathit{DAE}=$　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的四个顶点分别在直线 $l_3$， $l_4$， $l_2$， $l_1$上．若直线 $l_1//l_2//l_3//l_4$且间距相等， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，则 $\tan \alpha$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{8}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$D． $\frac{\sqrt{15}}{15}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{FN}$ ， $\mathit{EM}$ ．则下列结论：

① $\mathit{DN}=\mathit{BM}$ ；

② $\mathit{EM}//\mathit{FN}$ ；

③ $\mathit{AE}=\mathit{FC}$ ；

④当 $\mathit{AO}=\mathit{AD}$ 时，四边形 $\mathit{DEBF}$ 是菱形．

其中，正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AD}=12$，点 $P$在对角线 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BP}=\mathit{BA}$，连接 $\mathit{AP}$并延长，交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $Q$，连接 $\mathit{BQ}$，则 $\mathit{BQ}$的长为　 　．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\sqrt{3}+2$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}$．把 $\mathit{AD}$沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $D$恰好落在 $\mathit{AB}$边上的 $D\text{'}$处，再将 $\mathit{\Delta AED}\text{'}$绕点 $E$顺时针旋转 $\alpha$，得到△ $A^{\text{'}}\mathit{ED}\text{'}\text{'}$，使得 $\mathit{EA}\text{'}$恰好经过 $\mathit{BD}\text{'}$的中点 $F$． $A\text{'}D\text{'}\text{'}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$．有如下结论：① $A\text{'}F$的长度是 $\sqrt{6}-2$；②弧 $D^{\text{'}}D\text{'}\text{'}$的长度是 $\frac{5\sqrt{3}}{12}\pi$；③△ $A\text{'}\mathit{AF}\cong$△ $A\text{'}\mathit{EG}$；④△ $\mathit{AA}\text{'}F\backsim \mathit{\Delta EGF}$．上述结论中，所有正确的序号是　    　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线，过 $\odot O$上一点 $E$作直线 $\mathit{DC}$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于点 $D$、 $C$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{DE}·\mathit{CE}$．

如图，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平后再次折叠，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上的点 $A\text{'}$处，得到折痕 $\mathit{BM}$， $\mathit{BM}$与 $\mathit{EF}$相交于点 $N$．若直线 $\mathit{BA}\text{'}$交直线 $\mathit{CD}$于点 $O$， $\mathit{BC}=5$， $\mathit{EN}=1$，则 $\mathit{OD}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}\sqrt{3}$B． $\frac{1}{3}\sqrt{3}$C． $\frac{1}{4}\sqrt{3}$D． $\frac{1}{5}\sqrt{3}$

如图，在河对岸有一矩形场地 $\mathit{ABCD}$，为了估测场地大小，在笔直的河岸 $l$上依次取点 $E$， $F$， $N$，使 $\mathit{AE}\perp l$， $\mathit{BF}\perp l$，点 $N$， $A$， $B$在同一直线上．在 $F$点观测 $A$点后，沿 $\mathit{FN}$方向走到 $M$点，观测 $C$点发现 $\angle 1=\angle 2$．测得 $\mathit{EF}=15$米， $\mathit{FM}=2$米， $\mathit{MN}=8$米， $\angle \mathit{ANE}=45°$，则场地的边 $\mathit{AB}$为　　米， $\mathit{BC}$为　　米．

点 $P$， $Q$， $R$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（常数 $k>0$， $x>0)$图象上的位置如图所示，分别过这三个点作 $x$轴、 $y$轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为 $S_1$， $S_2$， $S_3$．若 $\mathit{OE}=\mathit{ED}=\mathit{DC}$， $S_1+S_3=27$，则 $S_2$的值为　　．

把一张宽为 $1\mathit{cm}$的长方形纸片 $\mathit{ABCD}$折叠成如图所示的阴影图案，顶点 $A$， $D$互相重合，中间空白部分是以 $E$为直角顶点，腰长为 $2\mathit{cm}$的等腰直角三角形，则纸片的长 $\mathit{AD}$（单位： $\mathit{cm})$为 $($　　 $)$

A． $7+3\sqrt{2}$B． $7+4\sqrt{2}$C． $8+3\sqrt{2}$D． $8+4\sqrt{2}$

如图1，矩形 $\mathit{DEFG}$中， $\mathit{DG}=2$， $\mathit{DE}=3$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=2$， $\mathit{FG}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $O$，且 $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{OC}=4$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$逆时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <180°)$得到△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$．

（1）当 $\alpha =30°$时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{OF}$的距离．

（2）在图1中，取 $A\text{'}B\text{'}$的中点 $P$，连结 $C\text{'}P$，如图2．

①当 $C\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的一条边平行时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{DE}$的距离．

②当线段 $A\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $\mathit{DG}$的距离的取值范围．