初中数学等边三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于圆 $O$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $D$ ，使 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AD}$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）填空：

①当 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数为 　　时，四边形 $\mathit{AOCE}$ 是菱形．

②若 $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长为 　　．

如图，在中，，点为的中点，延长到点，使，交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求弦的长．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．

如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．

试判断△BMN的形状，并说明理由.

（年贵州省铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．
求证：AD=CE．

如图，在⊙O中，弧AB=60°，AB=6，

（1）求圆的半径；   
（2）求弧AB的长；
（3）求阴影部分的面积．

如图．等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．


（1）试判定△ODE的形状．并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．