初中数学平行线的性质解答题

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$相交于点 $O$， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$．求证： $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．

如图，已知：在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，延长 $\mathit{BA}$到点 $D$，使 $\mathit{AD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$的中点．求证： $\mathit{DF}=\mathit{BE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $E$是 $\mathit{AB}$边上一点，过点 $C$作 $\mathit{CF}//\mathit{AB}$交 $\mathit{ED}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta CDF}$．

（2）当 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AE}=1$， $\mathit{CF}=2$时，求 $\mathit{AC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$．

（1）若 $\angle C=42°$，求 $\angle \mathit{BAD}$的度数；

（2）若点 $E$在边 $\mathit{AB}$上， $\mathit{EF}//\mathit{AC}$交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$．求证： $\mathit{AE}=\mathit{FE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$是 $\mathit{BC}$边上的中点，连结 $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）若 $\angle C=36°$，求 $\angle \mathit{BAD}$的度数；

（2）求证： $\mathit{FB}=\mathit{FE}$．

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{\Delta EFG}$的顶点 $F$， $G$分别落在直线 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{GE}$交 $\mathit{AB}$于点 $H$， $\mathit{GE}$平分 $\angle \mathit{FGD}$．若 $\angle \mathit{EFG}=90°$， $\angle E=35°$，求 $\angle \mathit{EFB}$的度数．

如图，直线 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{BC}$平分 $\angle \mathit{ABD}$， $\angle 1=54°$，求 $\angle 2$的度数．

如图，直线 $\mathit{EF}//\mathit{GH}$，点 $A$在 $\mathit{EF}$上， $\mathit{AC}$交 $\mathit{GH}$于点 $B$，若 $\angle \mathit{FAC}=72°$， $\angle \mathit{ACD}=58°$，点 $D$在 $\mathit{GH}$上，求 $\angle \mathit{BDC}$的度数．

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，点 $E$是 $\mathit{CD}$上一点， $\angle \mathit{AEC}=42°$， $\mathit{EF}$平分 $\angle \mathit{AED}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，求 $\angle \mathit{AFE}$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta CED}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{CE}$ ， $\mathit{AC}=\mathit{CD}$ ．求证： $\angle B=\angle E$ ．

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上， $\mathit{CE}//\mathit{DF}$ ， $\mathit{EC}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AC}=\mathit{FD}$ ．求证： $\mathit{AE}=\mathit{FB}$ ．

如图1， $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=12$， $P$是弦 $\mathit{BC}$上一动点（与点 $B$， $C$不重合）， $\angle \mathit{ABC}=30°$，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{OP}$交 $\odot O$于点 $D$．

（1）如图2，当 $\mathit{PD}//\mathit{AB}$时，求 $\mathit{PD}$的长；

（2）如图3，当 $\widehat{\mathit{DC}}=\widehat{\mathit{AC}}$时，延长 $\mathit{AB}$至点 $E$，使 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，连接 $\mathit{DE}$．

①求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

②求 $\mathit{PC}$的长．

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $l$及直线 $l$外一点 $P$．

求作：直线 $\mathit{PQ}$，使得 $\mathit{PQ}//l$．

作法：如图，

①在直线 $l$上取一点 $A$，作射线 $\mathit{PA}$，以点 $A$为圆心， $\mathit{AP}$长为半径画弧，交 $\mathit{PA}$的延长线于点 $B$；

②在直线 $l$上取一点 $C$（不与点 $A$重合），作射线 $\mathit{BC}$，以点 $C$为圆心， $\mathit{CB}$长为半径画弧，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $Q$；

③作直线 $\mathit{PQ}$．所以直线 $\mathit{PQ}$就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明： $\because \mathit{AB}=$　　， $\mathit{CB}=$　　，

$\therefore \mathit{PQ}//l($　　 $)$（填推理的依据）．

已知DB∥FG ∥EC，∠ABD=84°，∠ACE=60°，AP是∠BAC的平分线，求∠PAG的度数。

如图，已知直线a∥b,∠3=131°，求∠1、∠2的度数（填理由或数学式）

解：∵∠3=131°（）
又∵ ∠3=∠1（）
∴ ∠1=（）（）
∵ a∥b（）
∴ ∠1＋∠2=180°（）
∴ ∠2=（）（）