初中数学分式的混合运算计算题

有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是 $\frac{1}{1\times 2}$ ；

第二个数是 $\frac{1}{2\times 3}$ ；

第三个数是 $\frac{1}{3\times 4}$ ；

$\dots$

对任何正整数 $n$ ，第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ ．

（1）经过探究，我们发现： $\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3\times 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ ，

设这列数的第5个数为 $a$ ，那么 $a>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a<\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ，哪个正确？

请你直接写出正确的结论；

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第 $n$ 个数（即用正整数 $n$ 表示第 $n$ 数），并且证明你的猜想满足"第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ "；

（3）设 $M$ 表示 $\frac{1}{1^2}$ ， $\frac{1}{2^2}$ ， $\frac{1}{3^2}$ ， $\dots$ ， $\frac{1}{{2016}^2}$ ，这2016个数的和，即 $M=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots \frac{1}{{2016}^2}$ ，

求证： $\frac{2016}{2017}<M<\frac{4031}{2016}$ ．

计算 $(m+2-\frac{5}{m-2})÷\frac{m-3}{2m-4}$．

（1）计算： $\sqrt{8}-{(3.14-\pi )}^0-4\cos 45°$

（2）化简： $\frac{x^2}{x-1}÷\frac{x}{x^2-1}-x$

（1）计算 ${(2017-\pi )}^0-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}+|-2|$

（2）化简 $(1-\frac{1}{a-1})÷\left(\frac{a^2-4a+4}{a^2-a}\right)$．

化简： $(1+\frac{2}{a-1})÷\frac{a^2+2a+1}{a-1}$．

（1）计算： ${\pi }^0+2\cos 30°-|2-\sqrt{3}|-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$；

（2）化简： $(2-\frac{x-1}{x+1})÷\frac{x^2+6x+9}{x^2-1}$．

（1） $2^{-2}+\sqrt[3]{8}-2\sin 60°+|-\sqrt{3}|$

（2）化简： $(1-\frac{1}{x+1})÷\frac{x}{x^2-1}$

计算：

（1） $（x+y{）}^2+y（3x﹣y）$；

（2） $(\frac{4-a^2}{a-1}+a)÷\frac{a^2-16}{a-1}$；

（1）化简 $\frac{x-1}{x}÷(x-\frac{1}{x})$．

（2）解方程： $\frac{2x}{2x-1}+\frac{5}{1-2x}=3$．

化简： $\frac{x-2}{x+1}·(1+\frac{2x+5}{x^2-4})$．

化简： $\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a^2+a}÷\frac{a^2-1}{a^2+2a+1}$

化简 $\frac{m}{m^2-4}÷(1+\frac{2}{m-2})$．

（1）计算： ${(\sqrt{2}-2)}^0+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}-2\cos 60°$；

（2）化简： $(1+\frac{1}{x-1})÷\frac{x}{x^2-1}$．

化简： $(\frac{2a^2+2a}{a^2-1}-\frac{a^2-a}{a^2-2a+1})÷\frac{2a}{a-1}$．

（1）计算： $\sin 30°+{(2018-\sqrt{3})}^0-2^{-1}+|-4|$；

（2）化简： $(1-\frac{2}{x-1})÷\frac{x-3}{x^2-1}$．