高中数学试题

（本小题满分13分）已知椭圆（）的长轴长为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．

（本大题满分13分）对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “线性数列”．
（1）若，，，数列、是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列是“线性数列”，则数列也是“线性数列”；
（3）若数列满足，，为常数．求数列前项的和．

【原创】已知函数，若方程有9个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）
         B．      C．     D．

（本小题满分14分）已知函数，为自然对数的底数．
（1）过点的切线斜率为，求实数的值；
（2）当时，求证：；
（3）在区间上恒成立，求实数的取值范围．

（本小题满分12分）如图所示，椭圆：，其中，焦距为，过点的直线与椭圆交于点、，点在之间，又点，的中点横坐标为，且．

（1）求椭圆的标准方程 ；
（2）求实数的值．

已知双曲线:的两条渐近线与抛物线的准线分别交于,两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则的内切圆半径为（   ）

A．

B．

C．

D．

（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．

（本小题满分13分）已知椭圆C：（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．

【改编】函数，则下列命题中正确命题的个数是 （   ）．
①函数有个零点；
②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；
③函数的极大值中一定存在最小值；
④，对一切恒成立．

A．

B．

C．

D．

（本小题满分14分）已知函数，， 其中，是自然对数的底数．函数，．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：
（1），其中；
（2）．

（本小题满分13分）已知椭圆C：（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．

（本小题满分12分）已知是等差数列的前n项和，数列是等比数列，恰为的等比中项，圆，直线，对任意，直线都与圆C相切．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若时，的前n项和为，求证：对任意，都有

已知，直线l：y=－2，动点P到直线l的距离为d，且d=．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）直线m：y=与点P的轨迹交于M、N两点，当时，求直线m的倾斜角α的取值范围；
（Ⅲ）设直线h与点P的轨迹交于C、D两点，写出命题“如果直线h过点B，那么=－12”的逆命题，并判断该逆命题的真假，请说明理由．

设函数，数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记试比较与Q的大小关系，并说明理由．

（本小题满分14分）已知函数在点处的切线与直线垂直，在处的切线与直线平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围．