高中数学试题

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，G、H分别为DC、BC的中点．

(1)求证：平面FGH∥平面BDE；
(2)求证：平面ACF⊥平面BDE.

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC₁上，已知AB＝AC，AA₁＝3，BC＝CF＝2.

(1)求证：C₁E∥平面ADF；
(2)设点M在棱BB₁上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF?

如图，三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝λ(0＜λ＜1)．

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD..

如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，已知∠ACB＝90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点．
 
(1)求证：MN∥平面AA₁C₁C；
(2)若AC＝AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC.

在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC＝BB₁.
 
(1)若P是CC₁上任一点，求证：AP不可能与平面BCC₁B₁垂直；
(2)试在棱CC₁上找一点M，使MB⊥AB₁.

如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA.又QA⊥平面ABCD，QA＝AB＝PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．

已知椭圆C:+=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F₁,F₂,上顶点A(0,b),△AF₁F₂为正三角形且周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,P是直线F₁A上的一个动点,求|PF₂|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.

如图所示,已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线l∥AB,l与x轴、y轴分别交于C,D两点,直线CE,DF为椭圆的切线,则CE与DF的斜率之积k_CE·k_DF等于(　　)

A．±	B．±
C．±	D．±

已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k₁,k₂的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k₁;
(3)若k₁+k₂=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.

椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,焦距为2,过F₁作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F₁的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF₂B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F₁、F₂,线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂,且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B₁作直线交椭圆于P、Q两点,使PB₂⊥QB₂,求△PB₂Q的面积.

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.

设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.