初中数学二次函数的应用试题

红星公司销售一种成本为40元 $/$件产品，若月销售单价不高于50元 $/$件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为 $x$（单位：元 $/$件），月销售量为 $y$（单位：万件）．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元 $/$件，月销售最大利润是78万元，求 $a$的值．

为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本 $y$（元 $)$与种植面积 $x$（亩 $)$之间满足一次函数关系，且当 $x=160$时， $y=840$；当 $x=190$时， $y=960$．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？

（每亩种植利润 $=$每亩销售额 $-$每亩种植成本 $+$每亩种植补贴）

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止．过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)$秒．

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M$、 $A$、 $O$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图是某同学正在设计的一动画示意图， $x$轴上依次有 $A$， $O$， $N$三个点，且 $\mathit{AO}=2$，在 $\mathit{ON}$上方有五个台阶 $T_1~T_5$（各拐角均为 $90°)$，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_1$到 $x$轴距离 $\mathit{OK}=10$．从点 $A$处向右上方沿抛物线 $L:y=-x^2+4x+12$发出一个带光的点 $P$．

（1）求点 $A$的横坐标，且在图中补画出 $y$轴，并直接指出点 $P$会落在哪个台阶上；

（2）当点 $P$落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$形状相同的抛物线 $C$，且最大高度为11，求 $C$的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 $T_5$有交点；

（3）在 $x$轴上从左到右有两点 $D$， $E$，且 $\mathit{DE}=1$，从点 $E$向上作 $\mathit{EB}\perp x$轴，且 $\mathit{BE}=2$．在 $\mathit{\Delta BDE}$沿 $x$轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 $C$下落的点 $P$能落在边 $\mathit{BD}$（包括端点）上，则点 $B$横坐标的最大值比最小值大多少？

$[$注：（2）中不必写 $x$的取值范围 $]$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{BC}=6\sqrt{3}\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$ ．点 $P$ 是 $\mathit{CA}$ 边上的一动点，点 $P$ 从点 $C$ 出发以每秒 $2\mathit{cm}$ 的速度沿 $\mathit{CA}$ 方向匀速运动，以 $\mathit{CP}$ 为边作等边 $\mathit{\Delta CPQ}$ （点 $B$ 、点 $Q$ 在 $\mathit{AC}$ 同侧），设点 $P$ 运动的时间为 $x$ 秒， $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示，不要求写 $x$ 的取值范围）；

（2）当点 $Q$ 落在 $\mathit{AB}$ 上时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ 的值；

（3）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 外部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用 $y_1$（万元）与月销售量 $x$（辆 $\left)\right(x⩾4)$满足某种函数关系的五组对应数据如下表：

$x$	4	5	6	7	8
$y_1$	0	0.5	1	1.5	2

（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 $y_1$与 $x$的关系式 $y_1=$　　；

（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润 $y=$（每辆原售价 $-y_1-$进价） $x$，请你根据上述条件，求出月销售量 $x(x⩾4)$为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．

端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价 $x$元 $(50⩽x⩽65)$， $y$表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求 $y$关于 $x$的函数解析式并求最大利润．

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$ ，则其面积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ．这个公式也被称为海伦 $-$ 秦九韶公式．若 $p=5$ ， $c=4$ ，则此三角形面积的最大值为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{5}$

B．

4

C．

$2\sqrt{5}$

D．

5

某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　 　个．

因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量 $y$（桶 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数表达式；

（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润 $=$销售价 $-$进价）

某水果商店销售一种进价为40元 $/$千克的优质水果，若售价为50元 $/$千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元 $/$千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

（1）当售价为55元 $/$千克时，每月销售水果多少千克？

（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 $1)$．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 $H$（单位： $\mathit{cm})$，如果在离水面竖直距离为 $h$（单位： $\mathit{cm})$的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） $s$（单位： $\mathit{cm})$与 $h$的关系式为 $s^2=4h(H-h)$．

应用思考：现用高度为 $20\mathit{cm}$的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 $\mathit{hcm}$处开一个小孔．

（1）写出 $s^2$与 $h$的关系式；并求出当 $h$为何值时，射程 $s$有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 $a$， $b$，要使两孔射出水的射程相同，求 $a$， $b$之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 $16\mathit{cm}$，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

如图1，排球场长为 $18m$，宽为 $9m$，网高为 $2.24m$，队员站在底线 $O$点处发球，球从点 $O$的正上方 $1.9m$的 $C$点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点 $A$时，高度为 $2.88m$，即 $\mathit{BA}=2.88m$，这时水平距离 $\mathit{OB}=7m$，以直线 $\mathit{OB}$为 $x$轴，直线 $\mathit{OC}$为 $y$轴，建立平面直角坐标系，如图2．

（1）若球向正前方运动（即 $x$轴垂直于底线），求球运动的高度 $y\left(m\right)$与水平距离 $x\left(m\right)$之间的函数关系式（不必写出 $x$取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点 $P$（如图1，点 $P$距底线 $1m$，边线 $0.5m)$，问发球点 $O$在底线上的哪个位置？（参考数据： $\sqrt{2}$取 $1.4)$

如图1，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$， $C$分别是直线 $y=-\frac{8}{3}x+4$与坐标轴的交点，点 $B$的坐标为 $(-2,0)$，点 $D$是边 $\mathit{AC}$上的一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$，点 $F$在边 $\mathit{AB}$上，且 $D$， $F$两点关于 $y$轴上的某点成中心对称，连结 $\mathit{DF}$， $\mathit{EF}$．设点 $D$的横坐标为 $m$， $E{F}^2$为 $l$，请探究：

①线段 $\mathit{EF}$长度是否有最小值．

② $\mathit{\Delta BEF}$能否成为直角三角形．

小明尝试用“观察 $-$猜想 $-$验证 $-$应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 $l$随 $m$变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 $2)$．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想 $l$与 $m$可能满足的函数类别．

（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 $l$关于 $m$的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 $\mathit{EF}$长度的最小值．

（3）小明通过观察，推理，发现 $\mathit{\Delta BEF}$能成为直角三角形，请你求出当 $\mathit{\Delta BEF}$为直角三角形时 $m$的值．