如图, △ ABC 的边 AB = 30 cm , AC = 25 cm ,点 D , F 在 AC 上,点 E , G 在 AB 上, S △ ADE : S △ DEF : S △ EFG : S △ FGC : S △ CBC = 1 : 2 : 3 : 4 : 5 ,求 AD 和 GE 的长.
(本题12分)探究与发现: 如图①所示的图形,像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的聪明才智,解决以下问题: (一)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由; (二)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题: (1)如图②,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=52°,则∠ABX+∠ACX =__________°; (2)如图③,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数; (3)如图④,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
(本题10分)实验证明,平面镜的反射规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等,如图①所示:∠1=∠2. (1)如图②所示,一束光线射到平面镜上,被反射到平面镜上,又被反射.若被反射出的光线与光线平行,且∠1=50º,则∠2= º,∠3= º. (2)在图②中,若∠1变为55º、40º、30º时,∠3的度数是否发生变化? (3)由(1)、(2)请你猜想:当平面镜、的夹角∠3= º时,可以使任何射到平面镜上的光线,经过平面镜、的两次反射后,入射光线与反射光线平行.请你说明其中的道理.
(本题10分)阅读下面的材料:①,反过来,得②,反过来,得③,反过来,得…利用上面材料中的方法和结论完成下列各题:(1)填空:= ,= ;(2)计算:
(本题10分)我们用“☆”、“★”定义新运算:对于任意有理数数,,都有☆=2×2,★=2÷2,例如:3☆2=23×22=25=32,3★2=23÷22=2.(1)求4018★(2011☆2009)的值.(2)当为何值时,(2)☆1的值与2010★2003的值相等.
(本题10分)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示. (1)过点B′画出平移后的△A′B′C′,使A′和A、B′和B、C′和C分别对应;(2)若连接AA′、BB′、CC′,则这三条线段之间的关系是______ ,仔细观察,图中互相平行的线段共有 对;(3)求△A′B′C′的面积.