一只青蛙在平面直角坐标系上从点 1 , 1 开始,可以按照如下两种方式跳跃:①能从任意一点 a , b ,跳到点 2 a , b 或 a , 2 b ;②对于点 a , b ,如果 a > b ,则能从 a , b 跳到 a - b , b ,如果 a < b ,则能从 a , b 跳到 a , b - a ,例如,按照上述跳跃方式,这只青蛙能够到达点 3 , 1 ,跳跃的一种路径为: 1 , 1 → 2 , 1 → 4 , 1 → 3 , 1 ,请你思考:这只青蛙按照规定的两种方式跳跃,能达到下列各点吗?如果能,请分别给出从点 1 , 1 出发到指定点的路径;如果不能,请说明理由.
(1) 3 , 5 ;(2) 12 , 60 ;(3) 200 , 5 ;(4) 200 , 6 .
(年湖南岳阳10分)如图,抛物线经过点A(1,0),B(5,0),C(0,)三点,设点E(x,y)是抛物线上一动点,且在x轴下方,四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形. (1)求抛物线的解析式; (2)当点E(x,y)运动时,试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式,并求出面积S的最大值? (3)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF为正方形?若存在,求E点,F点的坐标;若不存在,请说明理由.
(年湖北天门学业12分)如图,已知二次函数的图象过点A(0,﹣3),B(),对称轴为直线,点P是抛物线上的一动点,过点P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,在四边形PMON上分别截取PC=MP,MD=OM,OE=ON,NF=NP. (1)求此二次函数的解析式; (2)求证:以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形; (3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
(年黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭地区、黑河10分)如图,在平面直角坐标系中,已知R△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上(OA<OB),且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根.线段AB的垂直平分线CD交AB于点C,交x轴于点D,点P是直线CD上一个动点,点Q是直线AB上一个动点. (1)求A、B两点的坐标; (2)求直线CD的解析式; (3)在坐标平面内是否存在点M,使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形,且该正方形的边长为AB长?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(年黑龙江牡丹江10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A,B,直线CD与x轴、y轴分别交于点C,D,AB与CD相交于点E,线段OA,OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根(OA>OC),BE=5,tan∠ABO=. (1)求点A,C的坐标; (2)若反比例函数y=的图象经过点E,求k的值; (3)若点P在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q,使以点C,E,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q的个数,并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(年广西北海12分)如图(1),抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(﹣2,0). (1)求此抛物线的解析式; (2)①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DE⊥x轴于E,连接CD,以OE为直径作⊙M,如图(2),试求当CD与⊙M相切时D点的坐标; ②点F是x轴上的动点,在抛物线上是否存在一点G,使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.