已知函数 $f\left(x\right)=1+\frac{2}{x}$，其中 $f\left(a\right)$表示 $x=a$时对应的函数值，即 $f\left(a\right)=1+\frac{2}{a}$.

（1）求 $f\left(10\right)$；

（2）计算： $f\left(1\right)\cdot f\left(2\right)\cdot f\left(3\right)\cdot \cdots \cdot f\left(100\right)$的值；

（3）如果 $f\left(a\right)-f\left(a+1\right)=1$，试求 $a$的值.