已知函数f(x)aex1ln⁡xln⁡a．（1）当ae时，求

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．

（1）当 $a = e$ 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

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已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ ,其图像记为曲线 $C$ .

（i）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（ii）证明：若对于任意非零实数 $x_{1}$ ,曲线C与其在点 $P_{1} (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线交于另一点 $P_{2} (x_{2}, f (x_{2}))$ ，曲线 $C$ 与其在点 $P_{2}$ 处的切线交于另一点 $P_{3} (x_{3}, f (x_{3}))$ ，线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 与曲线 $C$ 所围成封闭图形的面积分别记为 $S_{1}, S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值；

（Ⅱ）对于一般的三次函数 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ,请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。

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某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 $O$ 北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$ 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

题型：未知
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如图，圆柱 $O O_{1}$ 内有一个三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $A B$ 是圆 $O$ 的直径。

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥ 平面 B_{1} B C C_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $A B = A A_{1}$ 。在圆柱 $O O_{1}$ 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的概率为 $P$ 。
（i）当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $P$ 的最大值；
(ii)记平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与平面 $B_{1} O C$ 所成的角为 $θ (0^{°} < θ \leq 90^{°})$ 。当 $P$ 取最大值时，求 $\cos θ$ 的值。

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已知中心在坐标原点 $O$ 的椭圆 $C$ 经过点 $A (2, 3)$ ，且点 $F (2, 0)$ 为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于 $O A$ 的直线 $L$ ，使得直线 $L$ 与椭圆 $C$ 有公共点，且直线 $O A$ 与 $L$ 的距离等于4？若存在，求出直线 $L$ 的方程；若不存在，说明理由。

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设 $S$ 是不等式 $x^{2} - x - 6 \leq 0$ 的解集，整数 $m, n \in S$ 。
（Ⅰ）记"使得 $m + n = 0$ 成立的有序数组 $(m, n)$ "为事件 $A$ ，试列举 $A$ 包含的基本事件；
（Ⅱ）设 $ξ = m^{2}$ ,求 $ξ$ 的分布列及其数学期望 $E ξ$ 。

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