设函数 $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+k(k>0)$在 $x=0$处取得极值，且曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线垂直于直线 $x+2y+1=0$.
（1）求 $a,b$的值；

（2）若函数 $g\left(x\right)=\frac{e^x}{f\left(x\right)}$，讨论 $g\left(x\right)$的单调性。