已知关于x的函数 y = f ( x ) , y = g ( x ) 与 h ( x ) = kx + b ( k , b ∈ R ) 在区间D上恒有 f ( x ) ≥ h ( x ) ≥ g ( x ) .
(1)若 f x = x 2 + 2 x , g x = - x 2 + 2 x , D = ( - ∞ , + ∞ ) ,求h(x)的表达式;
(2)若 f ( x ) = x 2 - x + 1 , g ( x ) = k ln x , h ( x ) = kx - k , D = ( 0 , + ∞ ) ,求k的取值范围;
(3)若 f ( x ) = x 4 - 2 x 2 , g ( x ) = 4 x 2 - 8 , h ( x ) = 4 t 2 - t x - 3 t 4 + 2 t 2 ( 0 < t ≤ 2 ) , D = m , n ⊆ - 2 , 2 , 求证: n - m ≤ 7 .
已知函数 f ( x ) = sin 2 x - cos 2 x - 2 3 sin x cos x ( x ∈ R ) .
( I ) 求 f 2 π 3 的值;
( II )求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间;
设数列 A : a 1 , a 2 , … a N ( N ≥ ) .如果对小于 n ( 2 ≤ n ≤ N ) , 的每个正整数 k 都有 a k < a n 则称 n 是数列 A 的一个 " G 时刻" , 记 G ( A ) 是数列 A 的所有 " G 时刻" 组成的集合.
(1)对数列 A: - 2 , 2 , - 1 , 1 , 3 , 写出 G ( A ) 的所有元素;
(2)证明:若数列 A 中存在 a n 使得 a n > a 1 , 则 G ( A ) ≠ ∅ ;
(3)证明:若数列 A 满足 a n - a n - 1 ≤ ( n = 2 , 3 , … , N ) 则G(A)的元素个数小于 a N - a 1 ;
已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 3 2 , A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) , O ( 0 , 0 ) , Δ OAB 的面积为 1 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 设 P 的椭圆 C 上一点, 直线 PA 与 y 轴交于点 M , 直线 PB 与 x 轴交于点 N .
求证: | AN | ⋅ | BM | 为定值.
设函数 f ( x ) = x e a - x + bx , 曲线 y = f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 ) ) 处的切线方程为 y = e - 1 x + 4 ,
(1)求 a , b 的值;
(2)求 f ( x ) 的单调区间;
如图, 在四棱锥 P - ABCD 中, 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , PA ⊥ PD , PA = PD , AB ⊥ AD , AB = 1 , AD = 2 , AC = CD = 5 .
(1) 求证: PD ⊥ 平面 PAB ;
(2) 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值;
(3) 在棱 PA 上是否存在点 M , 使得 BM / / 平面 PCD ? 若存在, 求 AM AP 的值; 若不存在, 说明理由.