如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的一边AB在x轴上，∠AB

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的一边 $AB$ 在 $x$ 轴上， $∠ ABC = 90 °$ ，点 $C (4, 8)$ 在第一象限内， $AC$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，抛物线 $y = \frac{3}{4} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $D (0, - 6)$ ．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）求 $ED$ 的长；

（3）点 $P$ 是 $x$ 轴下方抛物线上一动点，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ， $ΔPAC$ 的面积为 $S$ ，试求出 $S$ 与 $m$ 的函数关系式；

（4）若点 $M$ 是 $x$ 轴上一点（不与点 $A$ 重合），抛物线上是否存在点 $N$ ，使 $∠ CAN = ∠ MAN$ ．若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，菱形 $ABCD$ 的边长为1， $∠ ABC = 60 °$ ，点 $E$ 是边 $AB$ 上任意一点（端点除外），线段 $CE$ 的垂直平分线交 $BD$ ， $CE$ 分别于点 $F$ ， $G$ ， $AE$ ， $EF$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ．

（1）求证： $AF = EF$ ；

（2）求 $MN + NG$ 的最小值；

（3）当点 $E$ 在 $AB$ 上运动时， $∠ CEF$ 的大小是否变化？为什么？

题型：未知
难度：未知

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已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 3 + 2 a^{2} (a \neq 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P (m, y_{1})$ ， $Q (3, y_{2})$ 在抛物线上，若 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

题型：未知
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已知 $⊙ O_{1}$ 的半径为 $r_{1}$ ， $⊙ O_{2}$ 的半径为 $r_{2}$ ．以 $O_{1}$ 为圆心，以 $r_{1} + r_{2}$ 的长为半径画弧，再以线段 $O_{1} O_{2}$ 的中点 $P$ 为圆心，以 $\frac{1}{2} O_{1} O_{2}$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $A$ ，连接 $O_{1} A$ ， $O_{2} A$ ， $O_{1} A$ 交 $⊙ O_{1}$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $O_{2} A$ 的平行线 $BC$ 交 $O_{1} O_{2}$ 于点 $C$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O_{2}$ 的切线；

（2）若 $r_{1} = 2$ ， $r_{2} = 1$ ， $O_{1} O_{2} = 6$ ，求阴影部分的面积．

题型：未知
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已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 $I$ （单位： $A)$ 与电阻 $R$ （单位： $Ω)$ 是反比例函数关系．当 $R = 4 Ω$ 时， $I = 9 A$ ．

（1）写出 $I$ 关于 $R$ 的函数解析式；

（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；

$R / Ω$	$\dots$									$\dots$
$I / A$	$\dots$									$\dots$

（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 $10 A$ ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？

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如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $α$ 要满足 $60 ° ⩽ α ⩽ 75 °$ ，现有一架长 $5.5 m$ 的梯子．

（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？

（2）当梯子底端距离墙面 $2.2 m$ 时， $α$ 等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？

（参考数据： $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° \approx 0.26$ ， $\tan 75 ° \approx 3.73$ ， $\sin 23.6 ° \approx 0.40$ ， $\cos 66.4 ° \approx 0.40$ ， $\tan 21.8 ° \approx 0.40$ ． $)$

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