如图所示，已知正方形 $\mathit{OEFG}$ 的顶点 $O$ 为正方形 $\mathit{ABCD}$ 对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 的交点，连接 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{DG}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta DOG}\cong \mathit{\Delta COE}$ ；

（2）若 $\mathit{DG}\perp \mathit{BD}$ ，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为2，线段 $\mathit{AD}$ 与线段 $\mathit{OG}$ 相交于点 $M$ ， $\mathit{AM}=\frac{1}{2}$ ，求正方形 $\mathit{OEFG}$ 的边长．