如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y_1=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m\ne 0)$的图象相交于第一、象限内的$A(3,5)$，$B(a,-3)$两点，与$x$轴交于点$C$．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在$y$轴上找一点$P$使$\mathit{PB}-\mathit{PC}$最大，求$\mathit{PB}-\mathit{PC}$的最大值及点$P$的坐标；

（3）直接写出当$y_1>y_2$时，$x$的取值范围．