如图1，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，在 轴上任取一点 ，连接 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 ，过点 作 轴的垂线 交直线 于点 ．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段 与 的数量关系为 ，其理由为： ．
（2）在 轴上多次改变点 的位置，按上述作图方法得到相应点 的坐标，并完成下列表格：
| 的坐标 |
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| 的坐标 |
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猜想：
（3）请根据上述表格中 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线 ，猜想曲线 的形状是 ．
验证：
（4）设点 的坐标是 ，根据图1中线段 与 的关系，求出 关于 的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点 ， ，点 为曲线 上任意一点，且 ，求点 的纵坐标 的取值范围．
问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1， 中， ， ， 是中线，求 的取值范围．她的做法是：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明 的判定定理是： ；
（2） 的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2， 是 的中线，在 上取一点 ，连结 并延长交 于点 ，使 ，求证： ．
（4）如图3，在矩形 中， ，在 上取一点 ，以 为斜边作 ，且 ，点 是 的中点，连接 ， ，求证： ．
小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支 型画笔，第二次超市推荐了 型画笔，但 型画笔比 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的 型画笔．
（1）超市 型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的 型画笔 支，购买费用为 元，请写出 关于 的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买 型画笔，则能购买多少支 型画笔？
如图，点 在以 为直径的 上，点 是半圆 的中点，连接 ， ， ， ．过点 作 交 的延长线于点 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 ， 的长．
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