如图,当,时,求阴影部分的周长和面积.
如图, AE / / BF , AC 平分 ∠ BAE ,且交 BF 于点 C , BD 平分 ∠ ABF ,且交 AE 于点 D , AC 与 BD 相交于点 O ,连接 CD
(1)求 ∠ AOD 的度数;
(2)求证:四边形 ABCD 是菱形.
如图,抛物线 y = a x 2 + bx 过 A ( 4 , 0 ) , B ( 1 , 3 ) 两点,点 C 、 B 关于抛物线的对称轴对称,过点 B 作直线 BH ⊥ x 轴,交 x 轴于点 H .
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点 C 的坐标,并求出 ΔABC 的面积;
(3)点 P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,当 ΔABP 的面积为6时,求出点 P 的坐标;
(4)若点 M 在直线 BH 上运动,点 N 在 x 轴上运动,当以点 C 、 M 、 N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时 ΔCMN 的面积.
如图①, ΔABC 与 ΔCDE 是等腰直角三角形,直角边 AC 、 CD 在同一条直线上,点 M 、 N 分别是斜边 AB 、 DE 的中点,点 P 为 AD 的中点,连接 AE 、 BD .
(1)猜想 PM 与 PN 的数量关系及位置关系,请直接写出结论;
(2)现将图①中的 ΔCDE 绕着点 C 顺时针旋转 α ( 0 ° < α < 90 ° ) ,得到图②, AE 与 MP 、 BD 分别交于点 G 、 H .请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形,使 BC = kAC , CD = kCE ,如图③,写出 PM 与 PN 的数量关系,并加以证明.
某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果 y (千克),增种果树 x (棵 ) ,它们之间的函数关系如图所示.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?
(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量 w (千克)最大?最大产量是多少?
某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度.他们在 C 处仰望建筑物顶端,测得仰角为 48 ° ,再往建筑物的方向前进6米到达 D 处,测得仰角为 64 ° ,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米)
(参考数据: sin 48 ° ≈ 7 10 , tan 48 ° ≈ 11 10 , sin 64 ° ≈ 9 10 , tan 64 ° ≈ 2 )