已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）设时，函数的最小

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）设时，函数的最小值是，求的最大值．

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如图, 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ,且各棱长均相等. $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点.

(Ⅰ) 证明 $E F / /$ 平面 $A_{1} C D$ ;
(Ⅱ) 证明平面 $A_{1} C D$ ⊥平面 $A_{1} A B B_{1}$ ;
(Ⅲ) 求直线 $B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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在 $△ A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ . 已知 $b \sin A = 3 c \sin B$ , $a = 3, \cos B = \frac{2}{3}$ .
(Ⅰ) 求 $b$ 的值;
(Ⅱ) 求 $\sin (2 B - \frac{π}{3})$ 的值.

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难度：未知

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某产品的三个质量指标分别为 $x, y, z$ , 用综合指标 $S = x + y + z$ 评价该产品的等级. 若 $S \leq 4$ , 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 $10$ 件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 2)$	$(1, 1, 1)$	$(1, 2, 1)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标 $(x, y, z)$	$(1, 2, 2)$	$(2, 1, 1)$	$(2, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$	$(2, 1, 2)$

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件 $B$ 为 "在取出的 $2$ 件产品中, 每件产品的综合指标 $S$ 都等于4", 求事件 $B$ 发生的概率.

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如图，已知曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，曲线 $C_{2} : |y| = |x + 1|$ ， $P$ 是平面上一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_{1}, C_{2}$ 都有公共点，则称 $P$ 为" $C_{1} - C_{2}$ 型点"．

(1)在正确证明 $C_{1}$ 的左焦点是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线 $y = k x$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求证 $|k| > 1$ ，进而证明原点不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"；
(3)求证：圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 内的点都不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"．

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已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x)$ ，其中常数 $ω > 0$ ；
（1）若 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，求 $ω$ 的取值范围；
（2）令 $ω = 2$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向上平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，区间 $[a, b]$ （ $a, b \in R$ 且 $a < b$ ）满足： $y = g (x)$ 在 $[a, b]$ 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的 $[a, b]$ 中，求 $b - a$ 的最小值．

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